문제 15 · 베이즈 정리 (두 주머니)

문제 15 [4점]

주머니 A에는 빨간 공 $5$개, 파란 공 $3$개가 들어있고, 주머니 B에는 빨간 공 $2$개, 파란 공 $6$개가 들어있다. 동일한 확률로 무작위로 두 주머니 중 하나를 선택한 후, 선택한 주머니에서 공 $2$개를 동시에 무작위로 꺼냈다. 꺼낸 공이 모두 빨간색이었다면, 우리가 선택한 주머니가 주머니 A일 확률을 구하시오.

풀이 및 해설

사전 확률은 $P(A)=P(B)={\displaystyle \frac{1}{2}}$입니다. 각 주머니에는 공이 $8$개씩 있으므로 $2$개를 동시에 뽑는 경우의 수는 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2})=28$입니다.

우도(likelihood) — 각 주머니에서 두 개 모두 빨강일 확률:

$$P(\text{모두 빨강}\mid A)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2})}=\frac{10}{28}=\frac{5}{14},$$$$P(\text{모두 빨강}\mid B)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2})}=\frac{1}{28}.$$

베이즈 정리Bayes' theorem:

$$P(A\mid \text{모두 빨강})=\frac{P(A)P(\text{모두 빨강}\mid A)}{P(A)P(\text{모두 빨강}\mid A)+P(B)P(\text{모두 빨강}\mid B)}.$$

분모·분자의 공통 인자 $\frac{1}{2}$를 소거하면

$$=\frac{\frac{5}{14}}{\frac{5}{14}+\frac{1}{28}}=\frac{\frac{10}{28}}{\frac{10}{28}+\frac{1}{28}}=\frac{10}{11}.$$$$\boxed{{\displaystyle P(A\mid \text{모두 빨강})=\frac{10}{11}\approx 0.9091}}$$

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