문제 9 · 베이즈 정리 — 공장 불량품

문제 9 [3점]

공장에서 기계 A는 하루에 전체 제품의 40%, 기계 B는 나머지 60%를 생산한다. A에서 생산된 제품의 불량률은 2%, B에서 생산된 제품의 불량률은 5%이다. 무작위로 뽑은 제품이 불량품일 때 그 제품이 A에서 왔을 확률을 구하시오.

풀이 및 해설

사건을 정의하자. $A$: A가 생산, $B$: B가 생산, $D$: 불량품. 주어진 값은

$$P(A)=0.4,P(B)=0.6,P(D\mid A)=0.02,P(D\mid B)=0.05.$$

전체 확률의 법칙law of total probability 으로 불량품 확률을 구한다.

$$P(D)=P(D\mid A)P(A)+P(D\mid B)P(B)=0.02\cdot 0.4+0.05\cdot 0.6=0.008+0.030=0.038.$$

베이즈 정리Bayes' theorem 로 사후확률을 구한다.

$$P(A\mid D)=\frac{P(D\mid A)P(A)}{P(D)}=\frac{0.008}{0.038}=\frac{8}{38}=\frac{4}{19}.$$$$\boxed{{\displaystyle P(A\mid D)={\displaystyle \frac{4}{19}}\approx 0.2105}}$$

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