문제 15 · 방향도함수 — 최대 증가 방향

문제 15 [4점]

함수 $u(x,y)$의 $(1,1)$에서의 증가 방향을 찾으시오.

$$u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}$$

풀이 및 해설

함수가 가장 빠르게 증가하는 방향은 그래디언트gradient $\mathrm{\nabla }u$ 의 방향이다. 먼저 편미분을 구한다.

$x$에 대한 편미분 (몫의 미분법, $x^2+y^2$을 $v$로 두면):

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1\cdot (x^2+y^2)-x\cdot 2x}{(x^2+y^2{)}^2}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2{)}^2}.$$

$y$에 대한 편미분:

$$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{0\cdot (x^2+y^2)-x\cdot 2y}{(x^2+y^2{)}^2}=\frac{-2xy}{(x^2+y^2{)}^2}.$$

점 $(1,1)$ 에서 $x^2+y^2=2$ 이므로 분모는 $2^2=4$ 이고

$$\frac{\partial u}{\partial x}{|}_{(1,1)}=\frac{1-1}{4}=0,\frac{\partial u}{\partial y}{|}_{(1,1)}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}.$$

따라서 그래디언트는

$$\mathrm{\nabla }u(1,1)=(0,-\frac{1}{2}).$$

증가 방향(단위벡터)은 이를 정규화한 것이다.

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\nabla }u(1,1)=(0,-\frac{1}{2}),\text{최대 증가 방향}=(0,-1)}}$$

즉 $(1,1)$ 에서는 $-y$ 방향으로 움직일 때 $u$가 가장 빠르게 증가한다.

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