문제 13 · 복소수의 근

문제 13 [4점]

집합 ${z : ‖ z ‖ = 1, I (z^{3}) = 0, \forall z \in C}$ 의 원소(들)를 찾으시오. ( $I$ 는 허수부를 의미한다.)

풀이 및 해설

$‖ z ‖ = 1$ 이므로 $z = e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ 로 둘 수 있습니다. 그러면

z^{3} = e^{i 3 θ} = \cos 3 θ + i \sin 3 θ .

허수부가 $0$ 이라는 조건 $I (z^{3}) = \sin 3 θ = 0$ 에서

3 θ = k π ⟹ θ = \frac{k π}{3}, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

각 $θ$ 에 대응하는 $z$ 는 다음과 같습니다(단위원 위의 6등분점, 즉 $1$ 의 여섯 제곱근).

\begin{aligned} θ = 0 : & 1 \\ θ = \frac{π}{3} : & \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \\ θ = \frac{2 π}{3} : & - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \\ θ = π : & - 1 \\ θ = \frac{4 π}{3} : & - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i \\ θ = \frac{5 π}{3} : & \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i \end{aligned}

z \in {\pm 1, \pm \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} i} (총 6 개)

이는 $z^{3}$ 이 실수, 즉 $z^{3} = \pm 1$ 인 점들로, $1$ 의 세 제곱근과 그 반수를 합한 여섯 개의 점입니다.

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