문제 17 · 복소함수의 극값 ($|z|=1$)

문제 17 [5점]

다음 복소함수 $f(z)$에 대하여 $|z|=1$ 위에서의 극댓값과 극솟값을 구하시오.

$$f(z)=\frac{z}{1+|z{|}^2}$$

풀이 및 해설

핵심은 정의역이 단위원unit circle $|z|=1$ 로 제한되어 있다는 점이다. 이 위에서는 $|z{|}^2=1$ 이 상수이므로 분모가 고정된다.

$$f(z)=\frac{z}{1+|z{|}^2}=\frac{z}{1+1}=\frac{z}{2}(|z|=1).$$

따라서 $|z|=1$ 위에서 함수의 크기magnitude는

$$|f(z)|=\frac{|z|}{2}=\frac{1}{2}$$

로 위치와 무관하게 항상 일정하다. $z=e^{i\theta }$ 로 두면 $f(z)=\frac{1}{2}{e}^{i\theta }$ 로 반지름 $\frac{1}{2}$ 인 원을 그릴 뿐 크기가 변하지 않는다.

그러므로 $|z|=1$ 위에서 극댓값과 극솟값이 서로 같으며 모두 $\frac{1}{2}$ 이다.

$$\boxed{{\displaystyle \text{극댓값}=\text{극솟값}=|f(z)|=\frac{1}{2}}}$$

참고로 제약을 없애고 $g(r)={\displaystyle \frac{r}{1+r^2}}(r=|z|)$ 를 보면 $g^{\prime }(r)={\displaystyle \frac{1-r^2}{(1+r^2{)}^2}}=0$ 에서 $r=1$ 이 최대점이고 $g(1)=\frac{1}{2}$ 이다. 즉 $|z|=1$ 은 크기 $|f|$ 가 전체 극대가 되는 특별한 원이다.

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