문제 11 · 합성함수

문제 11 [3점]

두 함수 $f(x)=\sqrt{2x+3}$, $g(x)=x^2-1$에 대해, 합성함수 $h(x)=f\circ g(x)$가 정의된다고 하자. 이때 $h(x)$의 정의역(1점)을 구하고, $h(x)$의 식을 간단히 정리(1점)한 후, $h(2)$를 계산(1점)하시오.

풀이 및 해설

합성함수 $h(x)=f(g(x))$는 $g(x)$를 $f$의 입력에 대입한 것입니다.

$$h(x)=f(g(x))=\sqrt{2g(x)+3}=\sqrt{2(x^2-1)+3}=\sqrt{2x^2+1}.$$

정의역: 근호 안이 $0$ 이상이어야 하는데, 모든 실수 $x$에 대해 $2x^2+1\ge 1>0$이 항상 성립합니다. 따라서

$$\text{정의역}=\mathbb{R}(\text{모든 실수}).$$

정리된 식: $h(x)=\sqrt{2x^2+1}$.

$h(2)$ 계산:

$$h(2)=\sqrt{2\cdot 2^2+1}=\sqrt{8+1}=\sqrt{9}=3.$$$$\boxed{{\displaystyle \text{정의역}=\mathbb{R},h(x)=\sqrt{2x^2+1},h(2)=3}}$$

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