문제 16 · 이산 합성곱

문제 16 [4점]

이산 정의역에서 $x[n]$, $h[n]$이 아래와 같이 정의될 때, $y[n]=(x\star h)[n]$을 구하시오.

$$x[n]=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }n=0,2\\ 2& \text{if }n=1\\ 0& \text{otherwise}\end{array},h[n]=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }n=0,1,2\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$

풀이 및 해설

이산 합성곱discrete convolution의 정의는

$$y[n]=(x\star h)[n]=\sum _{k}x[k]h[n-k]$$

이다. 수열로 나타내면 $x=[1,2,1]$ (인덱스 $0,1,2$), $h=[1,1,1]$ 이다. 각 $n$에 대해 겹치는 항을 더한다.

$$\begin{array}{rl}y[0]& =x[0]h[0]=1\cdot 1=1,\\ y[1]& =x[0]h[1]+x[1]h[0]=1+2=3,\\ y[2]& =x[0]h[2]+x[1]h[1]+x[2]h[0]=1+2+1=4,\\ y[3]& =x[1]h[2]+x[2]h[1]=2+1=3,\\ y[4]& =x[2]h[2]=1\cdot 1=1.\end{array}$$

따라서 $n=0,1,2,3,4$ 에서

$$\boxed{{\displaystyle y[n]=[1,3,4,3,1]}}$$

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