문제 4 · 로그미분법 — $x^{\sin x}$

문제 4 [2점]

다음 함수를 미분하시오.

$$f(x)=x^{\sin x}$$

풀이 및 해설

밑과 지수에 모두 $x$가 들어 있으므로 로그미분법logarithmic differentiation을 사용한다. 양변에 자연로그를 취하면

$$\ln f(x)=\sin x\cdot \ln x.$$

양변을 $x$에 대해 미분한다. 좌변은 연쇄법칙으로 ${\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}}$, 우변은 곱의 미분법으로

$$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\cos x\cdot \ln x+\sin x\cdot \frac{1}{x}.$$

양변에 $f(x)=x^{\sin x}$ 를 곱하면

$$\boxed{{\displaystyle f^{\prime }(x)=x^{\sin x}(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x})}}$$

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