문제 11 · 전치행렬 $(AB{)}^{\mathrm{\top }}=B^{\mathrm{\top }}{A}^{\mathrm{\top }}$

문제 11 [3점]

다음 두 행렬 $A$와 $B$에 대해, $(AB{)}^{\mathrm{\top }}$과 $B^{\mathrm{\top }}{A}^{\mathrm{\top }}$을 구하시오.

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ -1& 3& 2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 4\\ 0& 3\end{array}\right)$$

풀이 및 해설

곱 $AB$ 계산 — $A$는 $2\times 3$, $B$는 $3\times 2$ 이므로 $AB$는 $2\times 2$ 이다.

$$AB=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 2+2\cdot (-1)+0\cdot 0& 1\cdot 1+2\cdot 4+0\cdot 3\\ -1\cdot 2+3\cdot (-1)+2\cdot 0& -1\cdot 1+3\cdot 4+2\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 9\\ -5& 17\end{array}\right).$$

전치하면

$$(AB{)}^{\mathrm{\top }}=\left(\begin{array}{cc}0& -5\\ 9& 17\end{array}\right).$$

$B^{\mathrm{\top }}{A}^{\mathrm{\top }}$ 계산 — $B^{\mathrm{\top }}=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 1& 4& 3\end{array}\right)$, $A^{\mathrm{\top }}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 3\\ 0& 2\end{array}\right)$ 이므로

$$B^{\mathrm{\top }}{A}^{\mathrm{\top }}=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 1+(-1)\cdot 2+0\cdot 0& 2\cdot (-1)+(-1)\cdot 3+0\cdot 2\\ 1\cdot 1+4\cdot 2+3\cdot 0& 1\cdot (-1)+4\cdot 3+3\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -5\\ 9& 17\end{array}\right).$$

두 결과가 일치하여 전치의 성질 $(AB{)}^{\mathrm{\top }}=B^{\mathrm{\top }}{A}^{\mathrm{\top }}$ 을 확인할 수 있다.

$$\boxed{{\displaystyle (AB{)}^{\mathrm{\top }}=B^{\mathrm{\top }}{A}^{\mathrm{\top }}=\left(\begin{array}{cc}0& -5\\ 9& 17\end{array}\right)}}$$

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