문제 10 · 고윳값과 고유벡터

문제 10 [3점]

다음 행렬에 대해 고윳값eigenvalue과 각 고윳값에 해당하는 고유벡터eigenvector를 구하시오.

$$\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$$

풀이 및 해설

$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$ 의 특성방정식characteristic equation $det(A-\lambda I)=0$ 을 세운다.

$$det\left(\begin{array}{cc}2-\lambda & 1\\ 0& 3-\lambda \end{array}\right)=(2-\lambda )(3-\lambda )=0.$$

(상삼각행렬이므로 대각 성분이 곧 고윳값이다.) 따라서

$${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=3.$$

${\lambda }_1=2$ — $(A-2I)\mathbf{v}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\mathbf{v}=\mathbf{0}$ 에서 $v_2=0$, $v_1$ 은 자유변수이므로

$${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right).$$

${\lambda }_2=3$ — $(A-3I)\mathbf{v}=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\mathbf{v}=\mathbf{0}$ 에서 $-v_1+v_2=0$, 즉 $v_1=v_2$ 이므로

$${\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right).$$$$\boxed{{\displaystyle {\lambda }_1=2,{\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right);{\lambda }_2=3,{\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)}}$$

고유벡터는 상수배까지만 결정되므로, 수치 라이브러리는 이를 단위벡터로 정규화하여 ${\mathbf{v}}_2\approx (0.707,0.707)$ 처럼 출력한다.

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