문제 10 · 매클로린 급수

문제 10 [3점]

${\displaystyle \frac{\cos x}{x}}$의 매클로린 급수Maclaurin series를 구하고(2점), 이를 $\sum$ 기호를 사용하여 일반항으로 표현(1점)하시오.

풀이 및 해설

$\cos x$의 매클로린 급수는 잘 알려져 있습니다.

$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}.$$

양변을 $x$로 나누면(각 항을 $x$로 나눔)

$$\frac{\cos x}{x}=\frac{1}{x}-\frac{x}{2!}+\frac{x^3}{4!}-\frac{x^5}{6!}+\cdots .$$

일반항으로 정리하면

$$\boxed{{\displaystyle \frac{\cos x}{x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n-1}}}$$

입니다. 첫 항이 $x^{-1}$이므로 엄밀히는 $x=0$에서 특이점을 갖는 로랑Laurent 급수이지만, $\cos x$의 급수를 항별로 $x$로 나눈 형태로 표현됩니다.

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