문제 1 · 시그모이드 함수의 그래프

문제 1 [1점]

아래 함수의 그래프를 그리시오. $x\to -\mathrm{\infty }$, $x\to \mathrm{\infty }$, $y$절편을 정확하게 표기하시오.

$$y=(1+e^{-x}{)}^{-1}$$

풀이 및 해설

주어진 함수는 시그모이드sigmoid 함수 $y={\displaystyle \frac{1}{1+e^{-x}}}$ 이다.

극한 (수평 점근선) — $x\to -\mathrm{\infty }$ 이면 $e^{-x}\to \mathrm{\infty }$ 이므로 분모가 발산하여

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\frac{1}{1+\mathrm{\infty }}=0.$$

$x\to \mathrm{\infty }$ 이면 $e^{-x}\to 0$ 이므로

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}y=\frac{1}{1+0}=1.$$

따라서 $y=0$ 과 $y=1$ 이 수평 점근선horizontal asymptote이다.

$y$절편 — $x=0$ 을 대입하면

$$y(0)=\frac{1}{1+e^0}=\frac{1}{2}.$$

단조성 — $y^{\prime }={\displaystyle \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x}{)}^2}}>0$ 이므로 함수는 항상 증가하며, $(0,\frac{1}{2})$ 을 중심으로 대칭인 S자 곡선을 그린다.

$$\boxed{{\displaystyle x\to -\mathrm{\infty }:y\to 0,x\to \mathrm{\infty }:y\to 1,y\text{절편}=\frac{1}{2}}}$$

그래프는 왼쪽에서 $y=0$ 에 붙어 오다가 $(0,\frac{1}{2})$ 을 지나 오른쪽에서 $y=1$ 에 수렴하는 완만한 S자 곡선이다.