문제 5 · 몫의 미분법

문제 5 [2점]

다음 함수를 미분하시오.

$$f(x)=\frac{e^{3x}}{x^2+1}$$

풀이 및 해설

몫의 미분법quotient rule ${\left({\displaystyle \frac{u}{v}}\right)}^{\prime }={\displaystyle \frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}}$ 을 적용한다. 여기서 $u=e^{3x}$, $v=x^2+1$ 이고

$$u^{\prime }=3e^{3x},v^{\prime }=2x.$$

따라서

$$f^{\prime }(x)=\frac{3e^{3x}(x^2+1)-e^{3x}\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}.$$

분자에서 $e^{3x}$ 를 묶어 정리하면

$$\boxed{{\displaystyle f^{\prime }(x)=\frac{e^{3x}(3x^2-2x+3)}{(x^2+1{)}^2}}}$$

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