문제 6 · 멱집합의 원소 개수

문제 6 [2점]

집합 $\{2x+1:x<50,\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{N}}_0\}$의 멱집합power set의 원소의 갯수를 구하시오.

풀이 및 해설

${\mathbb{N}}_0=\{0,1,2,\dots \}$이고 조건 $x<50$이므로 $x\in \{0,1,2,\dots ,49\}$, 즉 $50$개의 값을 가집니다.

이때 $2x+1$은 서로 다른 $50$개의 홀수

$$\{1,3,5,\dots ,99\}$$

를 생성하므로 원래 집합의 원소 개수는 $|S|=50$입니다.

유한집합 $S$의 멱집합의 원소 개수는 $2^{|S|}$이므로

$$2^{50}=\mathrm{1,125,899,906,842,624.}$$$$\boxed{{\displaystyle 2^{50}=\mathrm{1,125,899,906,842,624}}}$$

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