문제 14 · 집합 조건의 충족 여부

문제 14 [4점]

임의의 집합 $A$, $B$, $C$가 다음 세 조건을 동시에 만족할 수 있는지 확인하시오.

1. $A\cup B=A\cup C$
2. $A\cap B=A\cap C$
3. $B\ne C$

풀이 및 해설

결론부터 말하면 동시에 만족할 수 없습니다. 조건 1, 2가 성립하면 반드시 $B=C$가 되어 조건 3과 모순되기 때문입니다.

증명: 흡수법칙 $B=B\cap (A\cup B)$에서 출발합니다.

$$\begin{array}{rl}B& =B\cap (A\cup B)\\ & =B\cap (A\cup C)& & (\because A\cup B=A\cup C)\\ & =(B\cap A)\cup (B\cap C)& & (\text{분배법칙})\\ & =(A\cap C)\cup (B\cap C)& & (\because A\cap B=A\cap C)\\ & =(A\cup B)\cap C& & (\text{분배법칙})\\ & =(A\cup C)\cap C& & (\because A\cup B=A\cup C)\\ & =C.& & (\text{흡수법칙})\end{array}$$

따라서 조건 1, 2가 성립하면 $B=C$이며, 이는 조건 3 $B\ne C$와 모순입니다.

$$\boxed{{\displaystyle \text{세 조건을 동시에 만족하는 }A,B,C\text{는 존재하지 않는다.}}}$$

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