수와 연산 · 집합 · 복소수

2주차에서 다룬 수 체계의 기초를 정리한다. 진법과 지수·로그, 합·곱 연산자, 집합론의 기본 연산, 수열과 급수, 그리고 복소수를 순서대로 살펴본다.

진법

• $n$진법base $n$은 수를 셀 때 자릿수가 올라가는 단위의 기준을 $n$으로 하는 셈법이다. 우리가 흔히 쓰는 것은 $10$진법이고, 컴퓨터 과학에서는 주로 $2$진법을 쓴다.
• 임의의 자연수 $a$와 $n\ge 2$에 대해 다음과 같이 표현할 수 있으며, 이 표현은 존재성existence과 유일성uniqueness을 가진다.

$$a=a_k{n}^k+a_{k-1}{n}^{k-1}+\cdots +a_{1}n+a_0,0\le a_0,a_1,\cdots ,a_k<n,a_k\ne 0$$

• 이를 $a={\overline{a_k{a}_{k-1}\cdots a_1{a}_0}}_{(n)}$로 표기하며, $10$진법은 아래첨자를 생략한다.
• 진법 변환은 변환하려는 수를 목표 진법 수로 나누어 가며 생기는 나머지를 역순으로 나열해 수행한다. 예를 들어 $10$진수 $345$를 $7$진법으로 바꾸는 과정은 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}345÷7& =49\cdots 2\\ 49÷7& =7\cdots 0\\ 7÷7& =1\cdots 0\\ 1÷7& =0\cdots 1\end{array}⟹{345}_{(10)}={1002}_{(7)}$$

• 유리수·무리수·복소수 진법도 정의할 수 있다.

def to_base(a, n):
    if a == 0:
        return "0"
    digits = []
    while a > 0:
        digits.append(a % n)   # 나머지를 모으고
        a //= n
    return "".join(str(d) for d in reversed(digits))  # 역순으로 나열

for a, n in [(345, 7), (13, 2), (100, 5)]:
    print(f"{a}(10) = {to_base(a, n)}({n})")

# 역변환으로 검증: 7진수 1002 -> 10진수
s = "1002"
val = sum(int(d) * 7**i for i, d in enumerate(reversed(s)))
print("1002(7) =", val, "(10)")

지수와 로그

• 임의의 수 $A$를 $N$번 거듭해 곱한 것을 $A^N$으로 표기한다. 지수exponent는 다음 성질을 가진다.

$$X^A{X}^B=X^{A+B},\frac{X^A}{X^B}=X^{A-B},(X^A{)}^B=X^{AB}$$$$X^N+X^N=2X^N\ne X^{2N},2^N+2^N=2^{N+1}$$

• 로그log는 지수의 역연산으로 다음과 같이 정의된다.

$$X^A=B\iff {\log }_{X}B=A$$

• 컴퓨터 과학에서는 밑을 $2$로, 자연과학·공학에서는 $e\approx 2.718$(자연로그 $\ln$)을, 경제학·일상에서는 $10$(상용로그)을 약속한다.
• 정의로부터 다음 성질이 유도된다.

$${\log }_{A}B=\frac{{\log }_{C}B}{{\log }_{C}A}(A,B,C>0,A\ne 1),\log AB=\log A+\log B,\log \frac{A}{B}=\log A-\log B$$$$\log (A^B)=B\log A,\log X<X(\mathrm{\forall }X>0),\log 1=0,\log 2=1,\log 1024=10(\text{밑 }2)$$

합 연산과 곱 연산

• 합 연산자 $\sum$와 곱 연산자 $\prod$는 다음과 같이 정의된다.

$$\sum _{k=i}^j{a}_k=a_i+a_{i+1}+\cdots +a_j,\prod _{k=i}^j{a}_k=a_i{a}_{i+1}\cdots a_j$$

• 두 연산자는 각각 다음 성질을 가진다.

$$\sum _{k=1}^n(a_k\pm b_k)=\sum _{k=1}^n{a}_k\pm \sum _{k=1}^n{b}_k,\sum _{k=1}^{n}c{a}_k=c\sum _{k=1}^n{a}_k,\sum _{k=1}^{n}c=cn$$$$\prod _{k=1}^n(a_k{b}_k)=\left(\prod _{k=1}^n{a}_k\right)\left(\prod _{k=1}^n{b}_k\right),{\left(\prod _{k=1}^n{a}_k\right)}^m=\prod _{k=1}^n{a}_k^m,\prod _{k=1}^{n}c=c^n$$

import numpy as np

# 로그 밑 변환 공식으로 log_2 B 계산: log_2 B = ln B / ln 2
for B in [1, 2, 1024]:
    print(f"log2({B}) = {np.log(B)/np.log(2):.4f}")

# 합 연산자로 라이프니츠 급수를 계산해 pi/4 근사
n = np.arange(0, 100000)
s = np.sum((-1.0)**n / (2*n + 1))     # 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...
print(f"\n4 x (부분합) = {4*s:.6f},  np.pi = {np.pi:.6f}")

집합

• 집합set $A$에 원소element $a$가 속하면 $a\in A$, 아니면 $a\notin A$로 쓴다. 모임collection·족family은 집합의 동의어이다.
• $\{x:\cdots \}$는 조건 $\cdots$을 만족하는 모든 $x$의 집합이며, 원소가 없는 집합을 공집합empty set $\mathrm{\varnothing }$이라 한다.
• $A$의 모든 원소가 $B$의 원소이면 $A$를 $B$의 부분집합subset이라 하고 $A\subset B$로 표기한다.

$$A\subset B\iff (x\in A\Rightarrow x\in B,\mathrm{\forall }x)$$

• $A$의 모든 부분집합을 모은 집합을 멱집합power set $\mathcal{P}(A)$라 한다. 원소가 $m$개이면 $|\mathcal{P}(A)|=2^m$이다.

$$A=\{0,1,2\}\Rightarrow \mathcal{P}(A)=\{\mathrm{\varnothing },\{0\},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{0,2\},\{1,2\},\{0,1,2\}\}$$

• 합집합union·교집합intersection·차집합set difference은 다음과 같다.

$$A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B\},A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B\},B\setminus A=\{x:x\in B\wedge x\notin A\}$$

• $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$이면 두 집합은 서로소disjoint set이며, $A\subset X$일 때 $X\setminus A$를 $A$의 여집합complement이라 한다.

분배 법칙과 드 모르간의 법칙

분배 법칙distributive law:

$$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C),A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$$

드 모르간의 법칙De Morgan's laws ($A,B\subset X$):

$$X\setminus (A\cup B)=(X\setminus A)\cap (X\setminus B),X\setminus (A\cap B)=(X\setminus A)\cup (X\setminus B)$$

• 색인 집합index set $I$에 대해 색인indexed된 모임 $\{A_i:i\in I\}$의 합집합·교집합은 다음과 같이 일반화된다.

$$\bigcup _{i\in I}{A}_i=\{x:\mathrm{\exists }i\in I\text{ s.t. }x\in A_i\},\bigcap _{i\in I}{A}_i=\{x:\mathrm{\forall }i\in I,x\in A_i\}$$

• 수 체계는 자연수natural number $\mathbb{N}$(페아노 공리계Peano's axioms로 정의)에서 시작해 확장된다.

$${\mathbb{N}}_0=\mathbb{N}\cup \{0\},\mathbb{Z}=\{x:n\pm x=0,\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_0\},\mathbb{Q}=\{x:x=\frac{m}{n},m,n\in \mathbb{Z},n\ne 0\}$$

• 무리수irrational number $\mathbb{I}$는 정수비로 나타낼 수 없는 수이고, 실수real number $\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup \mathbb{I}$이며, 허수단위 $i\equiv \sqrt{-1}$에 대해 복소수complex number $\mathbb{C}=\{a+bi:a,b\in \mathbb{R}\}$이다.
• 볼록 집합convex set $A$는 $tx+(1-t)y\in A(\mathrm{\forall }x,y\in A,t\in [0,1])$을 만족하는 집합으로, 두 점을 잇는 선분이 항상 집합에 포함된다. 최적화·기계학습machine learning에서 서포트 벡터 머신support vector machine의 결정 경계 문제 등 볼록 최적화의 기반이 된다.

from itertools import combinations

A = {0, 1, 2}
B = {1, 2, 3}
print("A ∪ B =", A | B)
print("A ∩ B =", A & B)
print("B \\ A =", B - A)

# 멱집합 구성
elems = sorted(A)
power = [set(c) for r in range(len(elems)+1) for c in combinations(elems, r)]
print(f"\n|P(A)| = {len(power)} (= 2^{len(elems)})")
print("P(A) =", [sorted(s) for s in power])

수열과 급수

• 수열sequence은 자연수 집합을 정의역으로 하는 함수로 $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$처럼 표기한다. 대표적인 수열은 다음과 같다.

$$\text{등차수열}{a}_n=a+(n-1)d,\text{등비수열}{a}_n=a{r}^{n-1},\text{조화수열}{a}_n=\frac{a}{1+a(n-1)d}$$

• 피보나치 수열Fibonacci sequence은 점화식과 일반항으로 다음과 같이 주어진다.

$$F_1=1,F_2=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n,F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n]$$

Thm. 피보나치 수열의 이웃한 두 항은 항상 서로소이다

$gcd(a,a+b)=gcd(a,b)$이므로

$$gcd(F_{k+1},F_{k+2})=gcd(F_{k+1},F_{k+1}+F_k)=gcd(F_{k+1},F_k)$$

$n=1$에서 $gcd(F_1,F_2)=1$이고, $gcd(F_k,F_{k+1})=1$을 가정하면 위 식에 의해 $gcd(F_{k+1},F_{k+2})=1$. 따라서 수학적 귀납법으로 $gcd(F_n,F_{n+1})=1,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$. $◼$

• 수열 $\{a_n\}$의 부분합 $S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$의 극한limit을 급수series라 한다.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n{a}_k$$

• 극한값이 실수로 수렴converge하면 급수가 수렴한다고 하고, 그렇지 않으면 발산diverge한다고 한다. 급수는 "부분합의 극한"이지 "무한 번 더하는 것"이 아니며, 리만 재배열 정리Riemann rearrangement theorem가 그 차이를 보여준다.
• 테일러 급수Taylor series는 함수 $f(x)$를 점 $a$ 주변에서 다항식의 합으로 전개한다. $a=0$인 경우를 매클로린 급수Maclaurin series라 한다.

$$f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\frac{f^{‴}(a)}{3!}(x-a{)}^3+\cdots$$

• 전개 차수가 높을수록 원래 함수에 가까워진다. 예를 들어 $\sin x$의 매클로린 전개는 다음과 같다.

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

복소수

• 복소수 $z=a+bi(a,b\in \mathbb{R},i\equiv \sqrt{-1})$에서 $\mathrm{\Re }(z)=a$를 실수부, $\mathrm{\Im }(z)=b$를 허수부라 한다. 켤레복소수complex conjugate와 절댓값absolute value은 다음과 같다.

$$\overline{z}\equiv \mathrm{\Re }(z)-i\mathrm{\Im }(z)=a-bi,|z|\equiv \sqrt{z\overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2}$$

• 복소수의 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 정의되며, 둘 다 결합법칙associative property·교환법칙commutative property을 만족하고 항등원·역원이 존재한다(곱셈의 역원 $z^{-1}=\overline{z}/|z{|}^2$).

$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

• 복소수는 행렬 표현matrix representation으로도 나타낼 수 있다. 특히 단위허수 $i$의 행렬 표현은 회전 행렬rotation matrix과 같다.

$$z=a+bi⟷\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right),i⟷\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{\pi }{2}& -\sin \frac{\pi }{2}\\ \sin \frac{\pi }{2}& \cos \frac{\pi }{2}\end{array}\right)$$

• 이를 일반화하면 $i^n$은 각도 $\frac{n\pi }{2}$의 회전에 대응하며, $i^0=1,i^1=i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1$로 주기 $4$를 갖는다.
• 극형식polar form은 편각 $\theta$를 이용해 $z=|z|(\cos \theta +i\sin \theta )$로 쓴다. 제1사분면에서는 $\theta =\arctan (b/a)$이며(일반적으로는 $\arctan 2$를 사용), 여기서 오일러 공식Euler's formula을 얻는다.

$$e^{ix}\equiv \cos x+i\sin x,\text{(cf. }{e}^{i\pi }+1=0\text{)}$$

import numpy as np
from math import gcd

# 피보나치 수열과 이웃 항의 서로소성
F = [1, 1]
for _ in range(10):
    F.append(F[-1] + F[-2])
print("피보나치 F =", F)
print("이웃 항 gcd =", [gcd(F[i], F[i+1]) for i in range(len(F)-1)])

# 복소수 i^n 의 주기성과 오일러 공식
print("\ni^n 의 주기성:")
for n in range(5):
    print(f"  i^{n} = {np.round(1j**n, 2)}")
print("오일러 공식 e^(iπ)+1 =", np.round(np.exp(1j*np.pi) + 1, 4))