문제 5 · 로그 방정식

문제 5 [2점]

집합 $\{x:{\log }_{x}16={\log }_{16}x,x\ge 0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\}$의 원소(들)를 찾으시오.

풀이 및 해설

로그의 밑이 되려면 $x>0,x\ne 1$이어야 합니다. $t={\log }_{16}x$로 두면, 밑변환 공식에 의해

$${\log }_{x}16=\frac{1}{{\log }_{16}x}=\frac{1}{t}.$$

주어진 조건 ${\log }_{x}16={\log }_{16}x$는 ${\displaystyle \frac{1}{t}}=t$, 즉

$$t^2=1⟹t=\pm 1.$$

• $t=1$: ${\log }_{16}x=1\Rightarrow x=16$.
• $t=-1$: ${\log }_{16}x=-1\Rightarrow x={16}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{16}}$.

두 값 모두 $x>0,x\ne 1$을 만족합니다.

$$\boxed{{\displaystyle x\in \{\frac{1}{16},16\}}}$$

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