함수

3주차의 함수 해석을 정리한다. 함수의 엄밀한 정의와 성질에서 시작해, 실함수·복소함수·다변수함수를 살펴보고, 함수의 그래프와 이동(평행·대칭·확대축소·회전)으로 마무리한다.

함수의 정의와 성질

집합 $X$ 에서 $Y$ 로의 함수function $f : X \mapsto Y$ 는 각 $x \in X$ 를 유일한 $y = f (x) \in Y$ 로 대응시키는 규칙이다. 이때 $y$ 는 $x$ 의 상image, $x$ 는 $y$ 의 원상preimage, $X$ 는 정의역domain, $Y$ 는 공역codomain이라 한다.
엄밀하게는 함수를 순서쌍ordered pair의 집합, 즉 사상mapping으로 본다. 예를 들어 $f (x) = x^{2}$ 는 $f = {(x, x^{2}) ∣ x \in R}$ 이다.

f = {(x, y) ∣ x \in X \land y \in Y} s.t. (x, y) \in f \land (x, y^{'}) \in f \Rightarrow y = y^{'}

함수의 대응 방식에 따라 다음과 같이 분류한다.

단사 · 전사 · 전단사

일대일one-to-one 또는 단사injective: $x_{i} \neq x_{j} \Rightarrow f (x_{i}) \neq f (x_{j})$ (서로 다른 두 점이 같은 상을 갖지 않음).
위로의 함수onto 또는 전사surjective: $f (X) = Y$ (공역의 모든 원소가 상으로 나타남).
일대일 대응one-to-one correspondence 또는 전단사bijective: 단사이면서 전사. 이때 역함수inverse function $f^{- 1} : Y \mapsto X$ 가 유일하게 존재한다.

항등함수identity function $i_{X} (x) = x$ 와 합성함수composite function $g \circ f$ 는 다음과 같다.

i_{X} (x) = x (x \in X), (g \circ f) (x) = g (f (x)) (f : X \mapsto Y, g : Y \mapsto Z)

정의역의 부분마다 다른 식을 쓰는 것을 조각적 정의piecewise definition라 한다. 절댓값 함수와 부호함수sign function가 그 예이다.

| x | = {\begin{cases} x & (x \geq 0) \\ - x & (그 외) \end{cases}, sgn (x) = {\begin{cases} + 1 & (x > 0) \\ 0 & (x = 0) \\ - 1 & (그 외) \end{cases}

집합 $X$ 의 관계relation $R$ 은 $X \times X$ 의 부분집합이다. 다음 세 성질을 만족하는 관계를 동치 관계equivalence relation라 한다.

반사적: x R x, 대칭적: x R y \Rightarrow y R x, 전이적: x R y \land y R z \Rightarrow x R z

함수의 주요 성질: 연속성continuity( $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ ), 미분 가능성differentiability(미분 가능하면 연속), 단조성monotonicity, 주기성periodicity, 대칭성symmetry.

단조 증가: x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \leq f (x_{2}), 단조 감소: x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \geq f (x_{2})

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# 유한 집합에서의 단사/전사 판정과 합성함수
X = [1, 2, 3]
Y = [1, 2, 3, 4]
f = {1: 2, 2: 4, 3: 1}            # f: X -> Y

images = list(f.values())
inj = len(set(images)) == len(images)   # 상이 모두 다르면 단사
sur = set(images) == set(Y)             # 공역을 모두 덮으면 전사
print(f"f = {f}")
print(f"단사(injective)? {inj},  전사(surjective)? {sur}")

# 합성함수 g∘f,  g(y) = y^2
g = lambda y: y**2
print("g∘f =", {x: g(f[x]) for x in X})

실함수 · 복소함수 · 다변수함수

실함수real-valued function는 실수 집합의 부분집합을 정의역, 실수 집합을 공역으로 하는 함수이며, 그 그래프 ${(x, f (x)) ∣ x \in D}$ 는 평면의 부분집합이다.
일차함수linear function $f (x) = a x + b$ 는 기울기(도함수) $a$ , $x$ 절편 $- \frac{b}{a}$ , $y$ 절편 $b$ 를 가지며 단조·일대일 대응이다. 다항함수polynomial function의 한 예로 물리·공학에서 중요한 르장드르 함수Legendre function가 있다.

P_{n} (x) = \frac{1}{2^{n} n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}} (x^{2} - 1)^{n}

공역이 연속이 아닌 함수를 이산함수discrete function라 하며, 계단 함수step function $u (x)$ 와 디랙-델타 함수Dirac-delta function $δ_{n} (x)$ 가 그 예이다.

u (x) = {\begin{cases} 1 & (x \geq 0) \\ 0 & (그 외) \end{cases}, δ_{n} (x) = {\begin{cases} \frac{n}{2} & (| x | \leq \frac{1}{n}) \\ 0 & (그 외) \end{cases}

복소함수complex-valued function는 정의역과 공역이 복소수 집합으로 확장된 함수이다. 어떤 영역에서 복소 미분 가능하면 그 영역에서 해석성analyticity을 가진다고 하며(실함수의 미분 가능성보다 엄격한 조건), 이러한 함수를 홀로모픽 함수holomorphic function라 한다.
다변수함수multivariate function는 둘 이상의 독립변수로 값이 정해지는 함수로, 편미분partial differentiation을 정의할 수 있다. 예를 들어 $z = f (x, y) = x^{2} - y^{2}$ 의 편도함수는 다음과 같다.

\frac{\partial z}{\partial x} = 2 x, \frac{\partial z}{\partial y} = - 2 y

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import numpy as np

# 편미분의 수치 근사 (중심 차분).  z = f(x, y) = x^2 - y^2
f = lambda x, y: x**2 - y**2
h = 1e-6
x0, y0 = 3.0, 2.0

df_dx = (f(x0+h, y0) - f(x0-h, y0)) / (2*h)
df_dy = (f(x0, y0+h) - f(x0, y0-h)) / (2*h)

print(f"∂z/∂x at ({x0},{y0}) = {df_dx:.4f}   (해석해 2x = {2*x0})")
print(f"∂z/∂y at ({x0},{y0}) = {df_dy:.4f}  (해석해 -2y = {-2*y0})")

함수의 그래프와 이동

평행 이동translation은 수평·수직 두 방향으로 나뉜다. 수평 이동horizontal shift은 $y = f (x - h)$ 로, $h > 0$ 이면 오른쪽으로 $h$ 만큼 이동한다. 수직 이동vertical shift은 $y = f (x) + k$ 로, $k > 0$ 이면 위로 $k$ 만큼 이동한다.

y = f (x - h) (수평), y = f (x) + k (수직)

대칭 이동reflection은 축을 기준으로 함수를 뒤집는다. $x$ 축 대칭은 치역의 부호를, $y$ 축 대칭은 정의역의 부호를 반대로 한다.

y = - f (x) (x 축 대칭), y = f (- x) (y 축 대칭)

확대scaling와 축소dilation는 상수를 곱해 그래프를 늘리거나 줄인다. 수직 방향은 $y = a f (x)$ , 수평 방향은 $y = f (b x)$ 이다.

y = a f (x) : | a | > 1 확대, 0 < | a | < 1 축소, y = f (b x) : | b | > 1 수평 축소, 0 < | b | < 1 수평 확대

회전rotation은 순서쌍 $(x, y)$ 를 각도 $θ$ 만큼 돌려 $(x^{'}, y^{'})$ 을 얻으며, 이는 벡터vector에 회전 행렬을 곱한 것과 같다.

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}), \begin{aligned} x^{'} & = x \cos θ - y \sin θ \\ y^{'} & = x \sin θ + y \cos θ \end{aligned}

python

import numpy as np

# 기본 함수 f(x) = x^2 에 각종 이동을 적용
x = np.linspace(-2, 2, 5)
f = lambda t: t**2

print("x        :", x)
print("f(x)=x^2 :", f(x))
print("f(x-1)   :", f(x - 1))   # 오른쪽으로 평행 이동
print("f(x)+1   :", f(x) + 1)   # 위로 평행 이동
print("-f(x)    :", -f(x))      # x축 대칭
print("f(-x)    :", f(-x))      # y축 대칭
print("2*f(x)   :", 2*f(x))     # y축 방향 2배 확대

python

import numpy as np

# 회전 변환: (1, 0) 을 90도 회전하면 (0, 1)
theta = np.pi / 2
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
              [np.sin(theta),  np.cos(theta)]])
v = np.array([1.0, 0.0])

print("회전 행렬 R(90°) =\n", np.round(R, 3))
print("R v =", np.round(R @ v, 3))

# 단위허수 i 의 행렬 표현이 90도 회전과 같음을 확인
i_mat = np.array([[0, -1], [1, 0]])
print("i 의 행렬 표현 == R(90°) ? ", np.allclose(R, i_mat))