문제 9 · 포아송분포

문제 9 [2점]

어떤 도시에서 평균적으로 1년에 $7$번의 폭우가 내린다고 하자. 이번 해에 폭우가 $5$번 내릴 확률 $P(\text{heavy rain}=5)$과 $9$번 내릴 확률 $P(\text{heavy rain}=9)$의 대소 관계를 비교하시오.

풀이 및 해설

연간 폭우 횟수 $X$는 평균 $\lambda =7$인 포아송분포Poisson distribution를 따릅니다.

$$P(X=k)=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}=\frac{e^{-7}{7}^k}{k!}.$$

두 확률의 비를 계산하면 공통 인자 $e^{-7}$이 소거됩니다.

$$\frac{P(X=5)}{P(X=9)}=\frac{7^5/5!}{7^9/9!}=\frac{9!}{5!\cdot 7^4}=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{7^4}=\frac{3024}{2401}\approx 1.259>1.$$

따라서 $P(X=5)>P(X=9)$입니다. 실제 값은

$$P(X=5)\approx 0.1277,P(X=9)\approx 0.1014.$$$$\boxed{{\displaystyle P(X=5)>P(X=9)}}$$

평균 $7$에서 거리가 가까운 $5$가 더 먼 $9$보다 확률이 큽니다.

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