문제 7 · 복소수 방정식

문제 7 [2점]

복소수 $z$가 아래 조건을 만족한다고 할 때 $z$의 값을 모두 구하시오.

$$z+\frac{1}{z}=2i,z\ne 0$$

풀이 및 해설

$z\ne 0$ 이므로 양변에 $z$를 곱하여 이차방정식으로 만든다.

$$z^2+1=2iz⟹z^2-2iz+1=0.$$

근의 공식quadratic formula $z={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$ 에서 $a=1,b=-2i,c=1$ 이므로

$$z=\frac{2i\pm \sqrt{(-2i{)}^2-4}}{2}=\frac{2i\pm \sqrt{-4-4}}{2}=\frac{2i\pm \sqrt{-8}}{2}.$$

$\sqrt{-8}=2\sqrt{2}i$ 이므로

$$z=\frac{2i\pm 2\sqrt{2}i}{2}=(1\pm \sqrt{2})i.$$$$\boxed{{\displaystyle z=(1+\sqrt{2})i\text{또는}z=(1-\sqrt{2})i}}$$

검산: $z=(1+\sqrt{2})i$ 이면 ${\displaystyle \frac{1}{z}}={\displaystyle \frac{1}{(1+\sqrt{2})i}}=-(\sqrt{2}-1)i$ 이므로 $z+{\displaystyle \frac{1}{z}}=(1+\sqrt{2})i-(\sqrt{2}-1)i=2i$ 로 조건을 만족한다.

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