문제 12 · 이계 편미분

문제 12 [3점]

함수 $f(x,y)$에 대해 ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}}$를 구하시오.

$$f(x,y)=\sin (xy)+x^3{y}^2$$

풀이 및 해설

먼저 $y$에 대해 편미분partial derivative한다. $x$는 상수로 취급한다.

$$\frac{\partial f}{\partial y}=x\cos (xy)+2x^{3}y.$$

이제 이 결과를 $x$에 대해 편미분한다.

• ${\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}[x\cos (xy)]=\cos (xy)+x\cdot (-\sin (xy))\cdot y=\cos (xy)-xy\sin (xy)$ (곱의 미분법과 연쇄법칙),
• ${\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}[2x^{3}y]=6x^{2}y.$

따라서

$$\boxed{{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\cos (xy)-xy\sin (xy)+6x^{2}y}}$$

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