문제 2 · 매클로린 급수 (합성함수)

문제 2 [1점]

아래 두 함수 $f(x)$, $g(x)$에 대해 $f\circ g(x)$의 매클로린 급수Maclaurin series를 $\sum$을 사용한 일반항으로 표현하시오.

$$f(x)=\sin x,g(x)=x^3+2x$$

풀이 및 해설

$f\circ g(x)=\sin (g(x))=\sin (x^3+2x)$ 이다.

사인 함수의 매클로린 급수는 다음과 같다.

$$\sin u=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{(2k+1)!}{u}^{2k+1}=u-\frac{u^3}{3!}+\frac{u^5}{5!}-\cdots$$

여기에 $u=g(x)=x^3+2x$ 를 그대로 대입하면 (합성함수의 급수는 안쪽 함수를 변수 자리에 대입하여 얻는다)

$$\boxed{{\displaystyle \sin (x^3+2x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{(2k+1)!}(x^3+2x{)}^{2k+1}}}$$

참고로 $g(0)=0$ 이므로 $x=0$ 근방에서 잘 정의되며, 낮은 차수를 전개하면

$$\sin (x^3+2x)=(x^3+2x)-\frac{(x^3+2x{)}^3}{6}+\cdots =2x+x^3-\frac{4}{3}{x}^3+\cdots$$

와 같이 실제 매클로린 계수와 일치한다.

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