문제 6 · 라플라스 근사법

문제 6 [4점]

아래와 같은 복잡한 형태의 적분을 라플라스 근사Laplace approximation를 이용하여 구하시오.

$$Z={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp \{-(x^2-4x+4{)}^2\}\mathrm{d}x$$

풀이 및 해설

지수부를 정리하면 $x^2-4x+4=(x-2{)}^2$이므로

$$Z={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp \{-(x-2{)}^4\}\mathrm{d}x$$

최빈값 — $h(x)=(x-2{)}^4$을 최소화한다. $u=x-2$로 두면 $h=u^4$, $h^{\prime }(u)=4u^3=0\Rightarrow u=0$, 즉 최빈값 $x_0=2$.

⚠️ 주의 — 표준 라플라스 근사의 한계. 라플라스 근사는 최빈값에서의 2차 곡률로 가우시안을 맞춘다. 그런데 여기서는 $h^{″}(u)=12u^2$, $h^{″}(0)=0$, 즉 최빈값에서 2차 미분이 $0$이다. 지수의 선도항이 $u^2$가 아니라 $u^4$이므로 봉우리가 가우시안보다 평평하다. 따라서 표준(2차) 라플라스 근사를 그대로 적용하면 분산이 $1/h^{″}(x_0)\to \mathrm{\infty }$가 되어 직접 적용할 수 없다.

정확한 값 — 이 적분은 감마 함수로 닫힌 형태를 가진다. $t=u^4$ 치환을 쓰면

$$Z={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-u^4}\mathrm{d}u=2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-u^4}\mathrm{d}u=\frac{1}{2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)\approx 1.813$$

해설 — 이 문제는 라플라스 근사가 항상 통하지 않음을 보여주는 예다. 근사가 성립하려면 최빈값에서 유효한(0이 아닌) 2차 곡률이 있어야 한다. 곡률이 소실되는 이런 경우에는 4차항까지 포함한 고차 근사나 정확한 감마 함수 표현을 사용해야 한다.

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