문제 8 · 중요도 표집법

문제 8 — 중요도 표집법

분포 $p(x)=2\exp (-2x)$, $x⩾0$에 대해 기댓값 ${\mathbb{E}}_p[x]$를 근사하고자 한다. 제안 분포로 $q(x)=\exp (-x)$를 사용하고, 이로부터 두 개의 샘플 $x_1=0.5$과 $x_2=1.5$를 추출하였다. 이 때, 중요도 표집법을 이용하여 기댓값을 계산하시오.

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중요도 가중치를 구한 후 이를 기댓값 근사에 사용한다.

풀이 및 해설

중요도 가중치 — $w(x)={\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}}={\displaystyle \frac{2e^{-2x}}{e^{-x}}}=2e^{-x}$.

$$w(x_1)=2e^{-0.5}\approx 1.213,w(x_2)=2e^{-1.5}\approx 0.446$$

기댓값 근사 — 중요도 표집 추정량은

$${\mathbb{E}}_p[x]\approx \frac{1}{M}\sum _{i=1}^{M}w(x_i)x_i=\frac{1}{2}(1.213\times 0.5+0.446\times 1.5)=\frac{1}{2}(0.607+0.669)\approx \boxed{{\displaystyle 0.638}}$$

(자기정규화 형태 $\sum _i{w}_i{x}_i/\sum _i{w}_i$를 쓰면 $\approx 0.769$이다.)

참고 — $p$는 평균 $1/2$인 지수분포이므로 참값은 ${\mathbb{E}}_p[x]=0.5$이다. 표본이 $2$개뿐이라 추정 오차가 크며, 표본 수를 늘리면 참값에 수렴한다.

👉 실습(Python)에서 가중치와 추정값 계산