문제 9 · 중요도 표집법

문제 9 [5점]

$0⩽x⩽1$ 구간에서 분포 $f(x)=2x$에 대해 제안 분포를 $g(x)=1$로 설정하였다. 제안 분포로부터 아래와 같은 4개의 표본이 추출되었을 때, 함수 $h(x)=x^2$의 기댓값 ${\mathbb{E}}_p[h(x)]$를 중요도 표집법importance sampling으로 근사하고, 실제로 기댓값을 구한 뒤 이 둘을 비교하시오.

$$\{x_1,x_2,x_3,x_4\}=\{0.2,0.4,0.6,0.8\}$$

풀이 및 해설

중요도 가중치 — $w(x)={\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}={\displaystyle \frac{2x}{1}}=2x$.

$$w(0.2)=0.4,w(0.4)=0.8,w(0.6)=1.2,w(0.8)=1.6$$

기댓값 근사 — $f$, $g$가 모두 정규화되어 있으므로 기본 중요도 표집 추정량은

$${\mathbb{E}}_p[h]\approx \frac{1}{M}\sum _{i=1}^{M}w(x_i)h(x_i)=\frac{1}{4}\sum _{i}2x_i\cdot x_i^2=\frac{1}{4}(0.016+0.128+0.432+1.024)=\boxed{{\displaystyle 0.4}}$$

실제 기댓값 — $p(x)=f(x)=2x$이므로

$${\mathbb{E}}_p[x^2]={\int }_0^1{x}^2\cdot 2x\mathrm{d}x={\left[\frac{x^4}{2}\right]}_0^1=\boxed{{\displaystyle 0.5}}$$

비교 — 근사값 $0.4$는 참값 $0.5$에 비해 다소 작다. 표본이 $4$개뿐이라 표집 오차가 크며, 표본 수를 늘리면 참값 $0.5$로 수렴한다.

👉 실습(Python)에서 가중치와 추정값 계산