문제 3 · 라그랑제 승수법 (3변수)

문제 3 [4점]

함수 $f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2$에 대해, 제약 조건 $x+y+z=1$ 하에서 최적점을 구하고 이 최적점이 최대인지 최소인지 판별하시오.

풀이 및 해설

라그랑제 함수 $\mathcal{L}=x^2+2y^2+3z^2+\lambda (x+y+z-1)$의 정류 조건:

$$2x+\lambda =0,4y+\lambda =0,6z+\lambda =0$$

따라서 $x=-\frac{\lambda }{2},y=-\frac{\lambda }{4},z=-\frac{\lambda }{6}$. 제약에 대입하면

$$-\lambda (\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6})=1⟹-\lambda \cdot \frac{11}{12}=1⟹\lambda =-\frac{12}{11}$$$$\boxed{{\displaystyle (x,y,z)=(\frac{6}{11},\frac{3}{11},\frac{2}{11})}}$$$$f={\left(\frac{6}{11}\right)}^2+2{\left(\frac{3}{11}\right)}^2+3{\left(\frac{2}{11}\right)}^2=\frac{36+18+12}{121}=\frac{66}{121}=\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{6}{11}}}}\approx 0.545$$

판별 — 목적함수의 헤세 $\mathbf{H}=\mathrm{diag}(2,4,6)$은 고윳값이 모두 양수(양의 정부호)이므로 정류점은 최소이다. 제약 평면 위에서 원점에서 멀어지면 $f\to \mathrm{\infty }$이므로 유한한 최댓값은 없다.

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