문제 3 · $k$-평균 군집화

문제 3 — $k$-평균 군집화

1차원 상 데이터 포인트 집합 $\{1,2,4,5\}$가 주어졌다. 이를 $k=2$로 군집화하려고 할 때, 다음과 같은 초깃값에 대해 EM 알고리즘을 1회 적용한 결과를 보이시오.

$${\mu }_1=1,{\mu }_2=5$$

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E 단계에서는 초기 프로토타입 값에 대해 각각의 데이터 포인트를 할당한다. M 단계에서는 할당된 데이터 포인트를 정답으로 설정하고 프로토타입 값을 다시 구한다.

풀이 및 해설

E 단계 (할당) — 각 점을 더 가까운 프로토타입에 배정한다.

점	$|x-{\mu }_1|$	$|x-{\mu }_2|$	배정
$1$	$0$	$4$	${\mathcal{C}}_1$
$2$	$1$	$3$	${\mathcal{C}}_1$
$4$	$3$	$1$	${\mathcal{C}}_2$
$5$	$4$	$0$	${\mathcal{C}}_2$

따라서 ${\mathcal{C}}_1=\{1,2\}$, ${\mathcal{C}}_2=\{4,5\}$.

M 단계 (갱신) — 각 군집의 평균으로 프로토타입을 다시 계산한다.

$${\mu }_1=\frac{1+2}{2}=\boxed{{\displaystyle 1.5}},{\mu }_2=\frac{4+5}{2}=\boxed{{\displaystyle 4.5}}$$

1회 반복 후 프로토타입은 $({\mu }_1,{\mu }_2)=(1.5,4.5)$로 갱신된다. (이 예는 한 번 만에 수렴하여, 다시 반복해도 할당과 프로토타입이 변하지 않는다.)

👉 실습(Python)에서 E·M 단계 재현