문제 7 · $k$-평균 군집화 (뒤틀림 척도)

문제 7 [5점]

아래와 같은 데이터셋 $X$에 $k$-평균 군집화를 적용하고자 한다. 군집 수는 $k=2$, 초기 프로토타입은 아래와 같다.

$$X=\{(0,0),(2,0),(0,2),(2,2),(10,10),(12,12)\},{\mu }_1^{(0)}=(0,0),{\mu }_2^{(0)}=(10,10)$$

이 때, 1회 EM 업데이트를 진행한 후 뒤틀림 척도distortion measure 값을 계산하여 서술하고, 새로운 프로토타입을 구하시오.

풀이 및 해설

E 단계 (할당) — 각 점을 더 가까운 프로토타입에 배정한다. 앞의 네 점은 ${\mu }_1^{(0)}=(0,0)$에, 뒤의 두 점은 ${\mu }_2^{(0)}=(10,10)$에 가깝다.

$${\mathcal{C}}_1=\{(0,0),(2,0),(0,2),(2,2)\},{\mathcal{C}}_2=\{(10,10),(12,12)\}$$

M 단계 (갱신) — 각 군집의 평균으로 프로토타입을 다시 계산한다.

$$\boxed{{\displaystyle {\mu }_1=(1,1),{\mu }_2=(11,11)}}$$

뒤틀림 척도 — $J=\sum _n\sum _k{r}_{nk}\Vert {\mathbf{x}}_n-{\mathit{\mu }}_k{\Vert }^2$을 새 프로토타입으로 계산한다.

$$J=\underset{{\mathcal{C}}_1:\Vert \cdot -(1,1){\Vert }^2}{\underbrace{[2+2+2+2]}}+\underset{{\mathcal{C}}_2:\Vert \cdot -(11,11){\Vert }^2}{\underbrace{[2+2]}}=\boxed{{\displaystyle 12}}$$

각 점이 프로토타입과 두 좌표 모두 $1$씩 떨어져 있어 점당 제곱거리가 $2$이며, 총 $6$개 점이므로 $J=12$이다.

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