문제 10 · 주성분 분석

문제 10 [5점]

아래와 같은 관측값이 주어졌을 때, 제 1 주성분principal component을 구하시오.

$$\{(3,1),(1,3),(0,0),(2,2)\}$$

풀이 및 해설

평균: $\overline{\mathbf{x}}=(\frac{3+1+0+2}{4},\frac{1+3+0+2}{4})=(1.5,1.5)$.

중심화: $(1.5,-0.5),(-0.5,1.5),(-1.5,-1.5),(0.5,0.5)$.

공분산 행렬 ($N=4$):

$$\mathbf{S}=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 1& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1.25& 0.25\\ 0.25& 1.25\end{array}\right)$$

고윳값 — $det(\mathbf{S}-\lambda I)=(1.25-\lambda {)}^2-{0.25}^2=0\Rightarrow 1.25-\lambda =\pm 0.25\Rightarrow \lambda =1.5\text{또는}1$.

제1 주성분 — 최대 고윳값 ${\lambda }_1=1.5$에 대응하는 고유벡터. $(\mathbf{S}-1.5I)\mathbf{v}=0$에서 $-0.25v_1+0.25v_2=0\Rightarrow v_1=v_2$이므로

$$\boxed{{\displaystyle {\mathbf{v}}_1\propto (1,1),\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)}}({\lambda }_1=1.5)$$

데이터가 $(0,0)$과 $(3,1),(2,2)$처럼 대각선 $(1,1)$ 방향으로 가장 넓게 퍼져 있어 자연스러운 결과다.

👉 실습(Python)에서 공분산·고유분해 계산