문제 5 · 라그랑제 승수법

문제 5 — 라그랑제 승수법

아래와 같은 다변수함수가 주어졌다.

$$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$$

아래의 제약 조건 하에서, 위 다변수함수의 최적점과 최솟값, 최댓값을 구하라.

$$g(x,y,z)=x+y+2z-4=0$$

헤세 행렬Hessian matrix이 양의 정부호positive definite라면 정류점은 최소가 되고, 그렇지 않다면 최대가 되는 사실을 사용하라.

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라그랑제 승수법을 적용하여 라그랑제 함수를 구성한 후, 각 변수들에 대해 미분하여 얻은 연립방정식을 풀어야 한다.

$$\mathcal{L}(x,y,z,\lambda )=f(x,y,z)+\lambda g(x,y,z)$$

헤세 행렬을 구하여 부호를 판별하여야 한다.

$$\mathbf{H}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial z}\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial z}\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial z\partial x}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial z\partial y}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}\end{array}\right)$$

풀이 및 해설

라그랑제 함수 구성:

$$\mathcal{L}(x,y,z,\lambda )=x^2+y^2+z^2+\lambda (x+y+2z-4)$$

연립방정식 — 각 변수로 편미분하여 $0$으로 둔다.

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=2x+\lambda =0,\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=2y+\lambda =0,\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z}=2z+2\lambda =0$$

따라서 $x=-\frac{\lambda }{2}$, $y=-\frac{\lambda }{2}$, $z=-\lambda$. 제약 $x+y+2z=4$에 대입하면

$$-\frac{\lambda }{2}-\frac{\lambda }{2}-2\lambda =4⟹-3\lambda =4⟹\lambda =-\frac{4}{3}$$

정류점:

$$\boxed{{\displaystyle (x,y,z)=(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{4}{3})}}$$

이 점에서의 함수값:

$$f={\left(\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(\frac{4}{3}\right)}^2=\frac{4+4+16}{9}=\frac{24}{9}=\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{8}{3}}}}\approx 2.667$$

헤세 행렬:

$$\mathbf{H}=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)=2\mathbf{I}$$

고윳값이 모두 $2>0$이므로 $\mathbf{H}$는 양의 정부호이고, 따라서 정류점은 최솟값 $\frac{8}{3}$이다.

최댓값에 대하여 — 제약 평면 위에서 원점으로부터 멀어지면 $x^2+y^2+z^2\to \mathrm{\infty }$이므로 유한한 최댓값은 존재하지 않는다. 기하학적으로 이 문제는 평면 $x+y+2z=4$까지의 최단 거리의 제곱을 구하는 것과 같으며, 그 값이 $\frac{8}{3}$이다 (평면까지의 거리 $\frac{4}{\sqrt{6}}$의 제곱).