문제 7 · $k$-평균 군집화 (뒤틀림 척도)

문제 7 [5점]

아래와 같은 데이터셋 $X$에 $k$-평균 군집화를 적용하고자 한다. 군집 수는 $k=2$, 초기 프로토타입은 아래와 같다.

$$X=\{(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(8,8),(8,10)\},{\mu }_1^{(0)}=(1,1),{\mu }_2^{(0)}=(10,10)$$

이 때, 1회 EM 업데이트를 진행한 후 뒤틀림 척도distortion measure 값을 계산하여 서술하고, 새로운 프로토타입을 구하시오.

풀이 및 해설

E 단계 (할당) — 앞의 네 점은 ${\mu }_1^{(0)}=(1,1)$에, 뒤의 두 점은 ${\mu }_2^{(0)}=(10,10)$에 가깝다.

$${\mathcal{C}}_1=\{(1,1),(1,3),(3,1),(3,3)\},{\mathcal{C}}_2=\{(8,8),(8,10)\}$$

M 단계 (갱신) — 각 군집의 평균으로 프로토타입을 다시 계산한다.

$$\boxed{{\displaystyle {\mu }_1=(2,2),{\mu }_2=(8,9)}}$$

뒤틀림 척도 — 새 프로토타입으로 $J=\sum _n\sum _k{r}_{nk}\Vert {\mathbf{x}}_n-{\mathit{\mu }}_k{\Vert }^2$을 계산한다.

$$J=\underset{{\mathcal{C}}_1:\Vert \cdot -(2,2){\Vert }^2}{\underbrace{[2+2+2+2]}}+\underset{{\mathcal{C}}_2:\Vert \cdot -(8,9){\Vert }^2}{\underbrace{[1+1]}}=\boxed{{\displaystyle 10}}$$

${\mathcal{C}}_1$의 네 점은 각각 $(2,2)$에서 제곱거리 $2$, ${\mathcal{C}}_2$의 두 점은 $(8,9)$에서 제곱거리 $1$이므로 $J=8+2=10$이다.

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