문제 6 · 베이즈망 추론

문제 6 [5점]

이항 변수 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$에 대해 $p(A=1)=\frac{1}{2}$이고 아래와 같은 조건부 분포가 주어졌다.

$$p(B=1\mid A=1)=\frac{2}{3},p(C=1\mid A=1)=\frac{3}{4},p(E=1\mid D=1)=\frac{4}{5}$$$$p(D=1\mid B=b,C=c)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{4},& b+c=0\\ \frac{3}{4},& \text{otherwise}\end{array}$$

이 때, $p(A=1\mid E=1)$, $p(B=1\mid C=1,E=1)$을 각각 구하시오.

풀이 및 해설

그래프 구조 — $A\to B$, $A\to C$, $(B,C)\to D$, $D\to E$.

결합확률은 $p(A)p(B\mid A)p(C\mid A)p(D\mid B,C)p(E\mid D)$이다. 보완된 CPT로 모든 항이 정해지므로 $E=1$(또는 $C=1,E=1$)로 주변화하여 조건부확률을 계산한다.

$p(A=1\mid E=1)$ — $E$는 $D$를 통해서만 $A$와 연결된다.

$$p(A=1\mid E=1)=\frac{p(A=1,E=1)}{p(E=1)}=\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{5}{9}}}}\approx 0.556$$

$A=1$이면 $B,C$가 켜질 확률이 커져 $D=1$, 나아가 $E=1$일 확률이 높아지므로 사후확률이 사전 $\frac{1}{2}$보다 상승한다.

$p(B=1\mid C=1,E=1)$ — $C=1,E=1$을 조건으로 $B$를 주변화하면

$$p(B=1\mid C=1,E=1)=\frac{p(B=1,C=1,E=1)}{p(C=1,E=1)}=\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{7}{12}}}}\approx 0.583$$

$C=1$과 $E=1$(즉 $D$가 켜졌을 가능성)이 함께 관측되면 $D$의 공통 원인인 $B$가 켜졌을 확률이 사전보다 높아진다.