문제 1 · 베이즈 정리 (3중 검사)

문제 1 [6점]

어떠한 질병 $D$가 인구 중 발병할 확률은 $0.01$이다. 이 질병을 진단하기 위한 세 가지 독립적인 검사법 $A$, $B$, $C$가 있으며, 각 검사법의 민감도sensitivity는 $0.9$, $0.85$, $0.8$이고 특이도specificity는 $0.95$, $0.9$, $0.85$이다. 어떤 환자가 위 세 가지 검사를 모두 독립적으로 수행한 결과, $A$, $B$는 양성, $C$는 음성 결과가 나타났다. 이 환자가 실제로 질병을 가지고 있을 확률은 얼마인지 구하시오.

★ 민감도는 질병이 있을 때 양성, 특이도는 질병이 없을 때 음성 결과가 나올 확률을 의미한다. ★ 모든 계산을 끝까지 수행하지 않아도 괜찮다.

풀이 및 해설

사전 확률 $P(D)=0.01$, $P(\mathrm{\neg }D)=0.99$. 검사는 독립이므로 각 클래스에서 관측 $(A+,B+,C-)$의 우도는 곱으로 쓴다.

질병이 있을 때 — $A,B$는 양성(민감도), $C$는 음성(=$1-$민감도):

$$P(A+,B+,C-\mid D)=0.9\times 0.85\times (1-0.8)=0.153$$

질병이 없을 때 — $A,B$는 위양성(=$1-$특이도), $C$는 음성(특이도):

$$P(A+,B+,C-\mid \mathrm{\neg }D)=(1-0.95)\times (1-0.9)\times 0.85=0.05\times 0.10\times 0.85=0.00425$$

베이즈 정리:

$$P(D\mid A+,B+,C-)=\frac{0.153\times 0.01}{0.153\times 0.01+0.00425\times 0.99}=\frac{0.00153}{0.00570}\approx \boxed{{\displaystyle 0.267}}$$

세 검사 중 둘이 양성이지만 질병 자체가 희귀(1%)하여 실제 질병 확률은 약 $26.7\mathrm{\%}$이다.

👉 실습(Python)에서 계산하기