문제 1 · 베이즈 정리 (2중 검사)

문제 1 [6점]

어떠한 질병 $D$가 인구의 $0.5\mathrm{\%}$의 비율로 발병한다. 이를 진단하기 위한 두 가지 검사법 $T_1$, $T_2$가 있고, 각각의 민감도sensitivity는 $0.98$, $0.95$, 특이도specificity는 $0.97$, $0.96$이다. 어떤 환자가 두 검사를 독립적으로 시행하였는데, $T_1$은 양성, $T_2$는 음성 결과가 나왔다. 이 환자가 실제로 질병을 가지고 있을 확률은 얼마인지 구하시오.

★ 민감도는 질병이 있을 때 양성, 특이도는 질병이 없을 때 음성 결과가 나올 확률을 의미한다. ★ 모든 계산을 끝까지 수행하지 않아도 괜찮다.

풀이 및 해설

사전 확률 $P(D)=0.005$, $P(\mathrm{\neg }D)=0.995$. 검사는 독립이므로 관측 $(T_1+,T_2-)$의 우도는 곱으로 쓴다.

질병이 있을 때 — $T_1$ 양성(민감도), $T_2$ 음성(=$1-$민감도):

$$P(T_1+,T_2-\mid D)=0.98\times (1-0.95)=0.98\times 0.05=0.049$$

질병이 없을 때 — $T_1$ 위양성(=$1-$특이도), $T_2$ 음성(특이도):

$$P(T_1+,T_2-\mid \mathrm{\neg }D)=(1-0.97)\times 0.96=0.03\times 0.96=0.0288$$

베이즈 정리:

$$P(D\mid T_1+,T_2-)=\frac{0.049\times 0.005}{0.049\times 0.005+0.0288\times 0.995}=\frac{0.000245}{0.028901}\approx \boxed{{\displaystyle 0.0085}}$$

한 검사는 양성이지만 다른 검사가 음성이고 질병이 매우 희귀(0.5%)하여, 실제 질병 확률은 약 $0.85\mathrm{\%}$로 낮게 유지된다.

👉 실습(Python)에서 계산하기