문제 1 · 기본 확률 법칙

문제 1 — 기본 확률 법칙들

어떤 희귀한 질병 $D$가 전체 인구의 $0.5\mathrm{\%}$에서 발생한다고 하자. 이 질병을 진단하기 위한 특정 검사법 $T$가 개발되었는데, 이 검사법의 민감도sensitivity는 $95\mathrm{\%}$이고, 특이도specificity는 $90\mathrm{\%}$이다.

어떠한 환자 $A$가 이 검사를 한 번 시행했고, 결과가 양성($+$)으로 나왔다. 이 환자가 실제로 질병을 가지고 있을 확률을 구하라.

또한, 보다 정확한 진단을 위해 이 검사를 독립적으로 $3$회 더 시행하여 총 $4$회의 검사를 실시했다고 하자. 그 결과 총 $4$번의 검사 모두 양성 결과가 나왔다. 이제 이 환자가 실제로 질병을 가지고 있을 확률을 다시 계산하라.

아래 정의를 사용하라.

• 민감도: 질병이 있을 때 양성 결과가 나올 확률 $P(T=+\mid D)$
• 특이도: 질병이 없을 때 음성 결과가 나올 확률 $P(T=-\mid \mathrm{\neg }D)$

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확률의 합의 법칙, 곱의 법칙, 베이즈 정리를 사용해야 한다.

$$P(X)=\sum _{Y}P(X,Y),P(X,Y)=P(Y\mid X)P(X),P(Y\mid X)=\frac{P(X\mid Y)P(Y)}{P(X)}$$

풀이 및 해설

주어진 정보를 정리하면 사전 확률 $P(D)=0.005$, $P(\mathrm{\neg }D)=0.995$과 조건부 확률 $P(T=+\mid D)=0.95$, $P(T=-\mid \mathrm{\neg }D)=0.9$이다.

특이도로부터 위양성률을 얻는다.

$$P(T=+\mid \mathrm{\neg }D)=1-P(T=-\mid \mathrm{\neg }D)=1-0.9=0.1$$

(1) 검사를 한 번 수행한 경우 — 베이즈 정리를 적용한다.

$$\begin{array}{rl}P(D\mid T=+)& =\frac{P(T=+\mid D)P(D)}{P(T=+\mid D)P(D)+P(T=+\mid \mathrm{\neg }D)P(\mathrm{\neg }D)}\\ & =\frac{0.95\times 0.005}{0.95\times 0.005+0.10\times 0.995}\approx \boxed{{\displaystyle 0.0456}}\end{array}$$

즉 양성이 한 번 나와도 질병이 워낙 희귀하여 실제 질병 확률은 약 $4.6\mathrm{\%}$에 불과하다.

(2) 4번 모두 양성인 경우 — 검사가 독립이므로, 질병이 있을 때 $4$번 양성일 확률은 $[P(T=+\mid D){]}^4$, 질병이 없을 때 $4$번 양성일 확률은 $[P(T=+\mid \mathrm{\neg }D){]}^4$이다.

$$P(D\mid 4+)=\frac{(0.95{)}^4\times 0.005}{(0.95{)}^4\times 0.005+(0.10{)}^4\times 0.995}\approx \boxed{{\displaystyle 0.9762}}$$

반복 검사를 통해 위양성 가능성이 급격히 줄어들어, 실제 질병 확률이 약 $97.6\mathrm{\%}$까지 상승한다.

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