문제 7 · 거부 표집법

문제 7 — 거부 표집법

$x\in [0,1]$에서 찾고자 하는 분포의 확률밀도함수는 $p(x)=6x(1-x)$이고, 제안 분포로 $q(x)=\mathrm{Uniform}[0,1]$을 사용한다. 이 때, 거부 표집 상수 $k$를 구하고, 한 차례 표집에서 $x=0.8$, $u=0.2$가 추출되었을 때 이 후보가 수락되는지 거부되는지 확인하시오.

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균등 분포 $\mathrm{Uniform}[a,b]$의 확률 밀도 함수는 $\frac{1}{b-a}$이다.

풀이 및 해설

$q(x)=\mathrm{Uniform}[0,1]$이므로 $q(x)=1$이다. 거부 표집에서는 모든 $x$에 대해 $p(x)⩽kq(x)$를 만족하는 최소의 $k$를 택한다.

$$k=\underset{x}{max}\frac{p(x)}{q(x)}=\underset{x\in [0,1]}{max}6x(1-x)$$

$p(x)=6x-6x^2$을 미분하면 $p^{\prime }(x)=6-12x=0\Rightarrow x=0.5$에서 최대이고

$$k=6\cdot 0.5\cdot (1-0.5)=\boxed{{\displaystyle 1.5}}$$

수락/거부 판정 — 후보 $x=0.8$에 대해 수락 확률은 ${\displaystyle \frac{p(x)}{kq(x)}}$이다.

$$p(0.8)=6\cdot 0.8\cdot 0.2=0.96,\frac{p(0.8)}{kq(0.8)}=\frac{0.96}{1.5\cdot 1}=0.64$$

$u=0.2$가 $0.64$ 이하이므로

$$u=0.2⩽0.64⟹\boxed{{\displaystyle \text{수락(accept)}}}$$

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