문제 9 · 거부 표집법

문제 9 [5점]

$0⩽x⩽1$ 구간에서 분포 $f(x)=\frac{3}{2}(1-x^2)$에 거부 표집법rejection sampling을 적용하기 위해 제안 분포를 $g(x)=1$로 설정하였다. 이 때 거부 표집 상수 $k$를 구하고, $x=0.25$, $u=0.8$이 표집되었을 때 채택/거부 여부를 판단하시오. 또한, 한 번의 채택을 얻기 위해 평균적으로 몇 번의 표집이 필요한지 계산하시오.

풀이 및 해설

거부 상수 — 모든 $x$에서 $f(x)⩽kg(x)$를 만족하는 최소 $k$는

$$k=\underset{x\in [0,1]}{max}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x}{max}\frac{3}{2}(1-x^2)$$

$f(x)=\frac{3}{2}(1-x^2)$은 $x=0$에서 최대이므로

$$k=\frac{3}{2}(1-0)=\boxed{{\displaystyle 1.5}}$$

채택/거부 — 후보 $x=0.25$의 채택 임계는 ${\displaystyle \frac{f(x)}{kg(x)}}$이다.

$$f(0.25)=\frac{3}{2}(1-0.0625)=1.40625,\frac{f(0.25)}{kg(0.25)}=\frac{1.40625}{1.5}=0.9375$$

$u=0.8$이 $0.9375$ 이하이므로

$$u=0.8⩽0.9375⟹\boxed{{\displaystyle \text{채택(accept)}}}$$

평균 표집 횟수 — $f$와 $g$가 모두 정규화되어 있으므로 채택 확률은 ${\displaystyle \frac{1}{k}}={\displaystyle \frac{1}{1.5}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$이고, 평균 표집 횟수는

$$\mathbb{E}[\text{시도 횟수}]=k=\boxed{{\displaystyle 1.5}}\text{회}$$

👉 실습(Python)에서 계산하기