문제 6 · 베이즈망 추론

문제 6 [5점]

이항 변수 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$에 대해 $p(A=1)=\frac{1}{3}$이고 아래와 같은 조건부 분포가 주어졌다.

$$p(B=1\mid A=1)=\frac{3}{4},p(D=1\mid A=1)=\frac{2}{3},p(C=1\mid B=1)=\frac{4}{5}$$$$p(E=1\mid C=c,D=d)=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{5},& c+d=0\\ \frac{3}{5},& c+d=1\\ 1,& c+d=2\end{array}$$

이 때, $p(A=1\mid E=1)$, $p(C=1\mid D=1,E=1)$을 각각 구하시오.

풀이 및 해설

그래프 구조 — $A\to B$, $A\to D$, $B\to C$, $(C,D)\to E$.

결합확률은 $p(A)p(B\mid A)p(D\mid A)p(C\mid B)p(E\mid C,D)$이다. 보완된 CPT로 모든 항이 정해지므로 필요한 조건을 걸고 주변화한다.

$p(A=1\mid E=1)$:

$$p(A=1\mid E=1)=\frac{p(A=1,E=1)}{p(E=1)}=\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{75}{187}}}}\approx 0.401$$

$p(C=1\mid D=1,E=1)$ — $D=1,E=1$을 조건으로 $C$를 주변화하면

$$p(C=1\mid D=1,E=1)=\frac{p(C=1,D=1,E=1)}{p(D=1,E=1)}=\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{5}{8}}}}=0.625$$

$D=1$인 상태에서 $E=1$이 관측되면, $c+d$가 클수록 $E=1$ 확률이 커지므로($c+d=2$일 때 $p(E=1)=1$) $C=1$이었을 가능성이 사전보다 높아진다.