문제 3 · 라그랑제 승수법

문제 3 [4점]

함수 $f(x,y)=x^2+2y^2$에 대해, 제약 조건 $x+y=3$ 하에서 최적점을 구하고 이 최적점이 최대인지 최소인지 판별하시오.

풀이 및 해설

라그랑제 함수 $\mathcal{L}=x^2+2y^2+\lambda (x+y-3)$의 정류 조건:

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=2x+\lambda =0,\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=4y+\lambda =0$$

두 식에서 $2x=4y\Rightarrow x=2y$. 제약 $x+y=3$에 대입하면 $2y+y=3\Rightarrow y=1,x=2$.

$$\boxed{{\displaystyle (x,y)=(2,1),f=2^2+2\cdot 1^2=6}}$$

판별 — 제약 $x=3-y$를 대입한 $\tilde{f}(y)=(3-y{)}^2+2y^2=3y^2-6y+9$는 ${\tilde{f}}^{″}=6>0$(아래로 볼록)이므로 정류점은 최소이다. (제약 위에서 $y\to \pm \mathrm{\infty }$면 $f\to \mathrm{\infty }$이므로 최댓값은 없다.) 목적함수의 헤세 $\mathbf{H}=\mathrm{diag}(2,4)$가 양의 정부호인 것과도 일치한다.

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