문제 10 · 주성분 분석

문제 10 [5점]

아래와 같은 관측값이 주어졌을 때, 제 1 주성분principal component을 구하시오.

$$\{(2,0),(0,2),(3,1),(1,3)\}$$

풀이 및 해설

평균: $\overline{\mathbf{x}}=(\frac{2+0+3+1}{4},\frac{0+2+1+3}{4})=(1.5,1.5)$.

중심화: $(0.5,-1.5),(-1.5,0.5),(1.5,-0.5),(-0.5,1.5)$.

공분산 행렬 ($N=4$):

$$\mathbf{S}=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ -3& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1.25& -0.75\\ -0.75& 1.25\end{array}\right)$$

고윳값 — $det(\mathbf{S}-\lambda I)=(1.25-\lambda {)}^2-{0.75}^2=0\Rightarrow 1.25-\lambda =\pm 0.75\Rightarrow \lambda =2\text{또는}0.5$.

제1 주성분 — 최대 고윳값 ${\lambda }_1=2$에 대응하는 고유벡터. $(\mathbf{S}-2I)\mathbf{v}=0$에서 $-0.75v_1-0.75v_2=0\Rightarrow v_1=-v_2$이므로

$$\boxed{{\displaystyle {\mathbf{v}}_1\propto (1,-1),\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)}}({\lambda }_1=2)$$

데이터가 $(2,0),(3,1)$과 $(0,2),(1,3)$처럼 $(1,-1)$ 방향으로 가장 넓게 퍼져 있어 자연스러운 결과다.

👉 실습(Python)에서 공분산·고유분해 계산