문제 9 · 조각 표집법

문제 9 — 조각 표집법

$z\in [-1,1]$ 구간에서 밀도 함수가 아래와 같이 주어졌다.

$$f(z)\propto 1-|z|$$

현재 위치 $z^{(\tau )}$가 $0.5$이고 수평 레벨 $u$가 $0.2$로 추출되었다고 할 때 조각 구간을 정의하시오. 정의된 구간에서 새로운 후보 $z^{\ast }$가 $-0.7$로 추출되었다면, 이 표본은 수락되는지 거부되는지 확인하시오.

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조각 구간의 정의는 다음과 같다.

$$S=\{z:f(z)⩾u\}$$

풀이 및 해설

$[-1,1]$에서 삼각형 밀도의 넓이가 $1$이므로 $f(z)=1-|z|$로 정규화되어 있다. 현재 위치에서 $f(z^{(\tau )})=f(0.5)=1-0.5=0.5$이고, 수평 레벨 $u=0.2$는 이보다 작으므로 유효하다.

조각 구간 — $f(z)⩾u$인 $z$의 집합을 구한다.

$$1-|z|⩾0.2⟺|z|⩽0.8$$$$\boxed{{\displaystyle S=[-0.8,0.8]}}$$

수락/거부 판정 — 후보 $z^{\ast }=-0.7$에 대해

$$f(-0.7)=1-|-0.7|=0.3⩾u=0.2$$

즉 $z^{\ast }=-0.7\in S$이므로

$$\boxed{{\displaystyle \text{수락(accept)}}}$$

(조각 표집에서는 후보가 조각 구간 $S$ 안에 있으면 그대로 수락하고, 벗어나면 구간을 줄여 다시 뽑는다.)

👉 실습(Python)에서 구간과 판정 확인