문제 2 · 기댓값과 분산

문제 2 — 기본 확률 법칙들

두 개의 동전을 각각 던져서 앞면이 나올 확률이 서로 독립적으로 다르게 설정되어 있다. 첫 번째 동전은 공정한 동전이며, 두 번째 동전은 편향된 동전으로 앞면이 나올 확률이 $75 %$ 이다.

이 때, 공정한 주사위를 던져서 나온 눈의 수를 $X$ 라고 정의하고, $X$ 만큼 첫 번째 동전을 던져 나온 앞면의 갯수를 $Y$ , $X$ 만큼 두 번째 동전을 던져 나온 앞면의 갯수를 $Z$ 라고 하자.

$Y$ , $Z$ , $Y + Z$ 의 기댓값expectation과 분산variance을 구하시오.

이항 분포, 기댓값, 분산, 공분산의 정의를 사용해야 한다.

\begin{matrix} E [f] = \sum_{x} p (x) f (x) (이산 분포) var [f] = E [f (x)^{2}] - E [f (x)]^{2} \\ cov [x, y] = E_{x, y} [x y] - E [x] E [y] Bin (m ∣ N, μ) = (\binom{N}{m}) μ^{m} (1 - μ)^{N - m} \\ 앞면이 m 번 관찰된 이항 분포: E [m] = N μ, var [m] = N μ (1 - μ) \end{matrix}

풀이 및 해설

공정한 주사위이므로 $P (X = k) = \frac{1}{6}$ $(k = 1, \dots, 6)$ 이고, 조건부 확률변수는 다음과 같다.

\begin{matrix} Y ∣ X = k \sim Bin (k, \frac{1}{2}) \Rightarrow E [Y ∣ X] = \frac{X}{2}, var [Y ∣ X] = \frac{X}{4} \\ Z ∣ X = k \sim Bin (k, \frac{3}{4}) \Rightarrow E [Z ∣ X] = \frac{3 X}{4}, var [Z ∣ X] = \frac{3 X}{16} \end{matrix}

기댓값 — 전확률(반복 기댓값)에 의해 $E [Y] = E [E [Y ∣ X]]$ 이다. $X$ 가 공정한 주사위이므로 $E [X] = \frac{1 + \dots + 6}{6} = \frac{7}{2}$ , $var [X] = E [X^{2}] - E [X]^{2} = \frac{35}{12}$ .

E [Y] = \frac{1}{2} E [X] = \frac{7}{4}, E [Z] = \frac{3}{4} E [X] = \frac{21}{8}, E [Y + Z] = \frac{35}{8}

분산 — 전분산 공식 $var [Y] = E [var [Y ∣ X]] + var (E [Y ∣ X])$ 를 사용한다.

var [Y] = E [\frac{X}{4}] + var [\frac{X}{2}] = \frac{E [X]}{4} + \frac{var [X]}{4} = \frac{77}{48}

var [Z] = E [\frac{3 X}{16}] + var [\frac{3 X}{4}] = \frac{3 E [X]}{16} + \frac{9 var [X]}{16} = \frac{147}{64}

합의 분산 — $var [Y + Z] = var [Y] + var [Z] + 2 cov [Y, Z]$ 이며, 공분산은 조건부 공분산 분해로 계산한다.

cov [Y, Z] = \underset{= 0 (Y, Z 조건부 독립)}{\underset{⏟}{E [cov [Y, Z ∣ X]]}} + cov (E [Y ∣ X], E [Z ∣ X]) = cov [\frac{X}{2}, \frac{3 X}{4}] = \frac{3}{8} var [X] = \frac{35}{32}

∴ var [Y + Z] = \frac{77}{48} + \frac{147}{64} + 2 \cdot \frac{35}{32} = \frac{1169}{192} \approx 6.089

정리하면 $E [Y] = \frac{7}{4}, E [Z] = \frac{21}{8}, E [Y + Z] = \frac{35}{8}$ , $var [Y] = \frac{77}{48}, var [Z] = \frac{147}{64}, var [Y + Z] = \frac{1169}{192}$ .

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문제 2 · 기댓값과 분산 ​

문제 2 · 기댓값과 분산