문제 1 · 이진 힙의 원소 개수 범위

문제 1 [1점]

높이height(또는 깊이depth)가 $d$인 이진 힙binary heap이 가질 수 있는 원소의 최댓값과 최솟값을 제시(각 0.5점)하시오.

풀이 및 해설

이진 힙은 **완전 이진 트리(complete binary tree)**입니다. 높이가 $d$라는 것은 루트에서 가장 깊은 잎까지의 간선 수가 $d$, 즉 레벨이 $0$부터 $d$까지 있다는 뜻입니다.

• 레벨 $0$부터 $d-1$까지는 꽉 차 있어야 하므로, 그 노드 수는 $1+2+\cdots +2^{d-1}=2^d-1$개입니다.
• 마지막 레벨 $d$에는 최소 1개, 최대 $2^d$개의 노드가 올 수 있습니다.

따라서

$$\text{최솟값}=(2^d-1)+1=2^d,\text{최댓값}=(2^d-1)+2^d=2^{d+1}-1.$$$$\boxed{{\displaystyle 2^d\le (\text{원소 수})\le 2^{d+1}-1}}$$

즉 최솟값은 $2^d$개(마지막 레벨에 잎 하나), 최댓값은 $2^{d+1}-1$개(포화 이진 트리)입니다.