문제 5 · 인접 행렬이 나타내는 그래프

문제 5 [4점]

아래는 어떤 그래프graph의 인접 행렬adjacency matrix이다. 아래 행렬이 나타내는 그래프를 그리고(2점), 인접 행렬 방식의 특징을 서술(2점)하시오.

[\begin{matrix} 7 & 0 & 4 & - \infty \\ - 4 & - \infty & 2 & 1 \\ - \infty & 3 & 5 & 1 \\ - \infty & 6 & 0 & - \infty \end{matrix}]

풀이 및 해설

행렬 읽기

정점을 $v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}$ 라 하고, $(i, j)$ 성분을 $v_{i} \to v_{j}$ 간선의 가중치로 본다. $- \infty$ 는 간선이 없음을 뜻한다. 대각 성분이 유한한 곳( $v_{1} : 7$ , $v_{3} : 5$ )은 자기 루프self-loop 이다.

행별로 나가는 간선을 정리하면:

출발	도착 : 가중치
$v_{1}$	$v_{1} : 7$ (루프), $v_{2} : 0$ , $v_{3} : 4$
$v_{2}$	$v_{1} : - 4$ , $v_{3} : 2$ , $v_{4} : 1$
$v_{3}$	$v_{2} : 3$ , $v_{3} : 5$ (루프), $v_{4} : 1$
$v_{4}$	$v_{2} : 6$ , $v_{3} : 0$

행렬이 비대칭이므로 이 그래프는 방향 가중치 그래프이며, 가중치는 음수(−4)와 0도 포함한다.

text

   (7)⟲                         ⟲(5)
     v1 ──0──▶ v2 ◀──3── v3
     │  ◀─(-4)─ │  ──2──▶ │
     └───4────▶ │         │
               v2 ──1──▶ v4 ◀──1── v3
                          ▲
                          │0
               v2 ◀──6─── v4

정리하면 간선은 $v_{1} \to v_{1} (7), v_{1} \to v_{2} (0), v_{1} \to v_{3} (4), v_{2} \to v_{1} (- 4), v_{2} \to v_{3} (2), v_{2} \to v_{4} (1), v_{3} \to v_{2} (3), v_{3} \to v_{3} (5), v_{3} \to v_{4} (1), v_{4} \to v_{2} (6), v_{4} \to v_{3} (0)$ 이다.

인접 행렬 방식의 특징

공간: 간선 수와 무관하게 항상 $O (V^{2})$ . 정점 수가 크고 간선이 적은 희소 그래프에는 낭비가 크다. 반대로 밀집·완전 그래프에는 효율적이다.
간선 조회: $v_{i} \to v_{j}$ 존재 여부와 가중치를 $O (1)$ 에 확인. 가중치·음수·자기 루프를 성분 값으로 자연스럽게 표현할 수 있다.
이웃 순회: 한 정점의 모든 이웃을 찾으려면 그 행 전체( $V$ 개)를 훑어야 하므로 $O (V)$ .
방향성: 무향 그래프면 행렬이 대칭, 유향이면 비대칭이다.

인접 행렬 \Rightarrow 공간 O (V^{2}), 간선 조회 O (1), 밀집 그래프에 유리

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문제 5 · 인접 행렬이 나타내는 그래프 ​

문제 5 · 인접 행렬이 나타내는 그래프