문제 8 · 동치 관계의 세 가지 성질

문제 8 [2점]

동치 관계equivalence relation가 가지는 3가지 성질을 서술(1점)하고, 예시를 서술(1점)하시오.

풀이 및 해설

세 가지 성질

집합 $S$ 위의 관계 $\sim$ 가 다음 세 성질을 모두 만족하면 동치 관계라 한다.

1. 반사성reflexive: 모든 $a\in S$ 에 대해 $a\sim a$.
2. 대칭성symmetric: $a\sim b$ 이면 $b\sim a$.
3. 추이성transitive: $a\sim b$ 이고 $b\sim c$ 이면 $a\sim c$.

$$\boxed{{\displaystyle \text{동치 관계}⟺\text{반사성}\wedge \text{대칭성}\wedge \text{추이성}}}$$

예시

• 상등(등호) 관계 $a=b$: 자기 자신과 같고($a=a$), 대칭이며($a=b\Rightarrow b=a$), 추이적($a=b,b=c\Rightarrow a=c$)이다.
• 법 $n$ 합동 $a\equiv b(\mathrm{mod}n)$ ($a-b$ 가 $n$의 배수): 예컨대 $n=3$ 이면 $\{\dots ,-3,0,3,6,\dots \}$, $\{\dots ,1,4,7,\dots \}$, $\{\dots ,2,5,8,\dots \}$ 세 개의 동치 클래스로 정수 전체를 분할한다.
• 그 밖에 "같은 학과에 속함", "같은 나머지를 가짐" 등도 세 성질을 만족하는 동치 관계다.

동치 관계는 항상 집합을 서로소인 동치 클래스들로 분할(partition) 한다는 점이 핵심이다.