문제 2 · 배열을 BST로 만들 때의 시간복잡도

문제 2 [4점]

원소 $N$개를 가지는 임의의 입력 배열을 이진 탐색 트리binary search tree 자료구조로 바꿀 때의 시간복잡도를 서술(1점)하고, 그 이유에 대해 설명(3점)하시오.

풀이 및 해설

시간복잡도

배열의 원소를 하나씩 이진 탐색 트리(BST)에 삽입하여 트리를 만든다고 하자. 삽입 한 번의 비용은 그때의 트리 높이 $h$ 에 비례한다.

$$\boxed{{\displaystyle \text{평균: }\mathrm{\Theta }(N\log N)\text{최악: }\mathrm{\Theta }(N^2)}}$$

이유

BST에 원소 하나를 삽입하는 비용은 루트에서 삽입 위치까지 내려가는 경로의 길이, 즉 트리의 높이 $h$ 에 비례한다. 전체 비용은 $N$ 번 삽입 동안의 높이들의 합이다.

• 평균의 경우: 입력이 무작위 순서이면 트리가 대체로 균형을 이루어 높이가 $h=\mathrm{\Theta }(\log N)$ 를 유지한다. 삽입할 때마다 약 $\log N$ 만큼 내려가므로 전체는

  $$\sum _{k=1}^N\mathrm{\Theta }(\log k)=\mathrm{\Theta }(N\log N).$$

• 최악의 경우: 입력 배열이 이미 정렬되어(오름차순 또는 내림차순) 있으면, 새 원소는 항상 한쪽 끝에만 붙는다. 그러면 트리가 한 방향으로만 자라 연결 리스트처럼 편향된(degenerate) 트리가 되고 높이는 $h=\mathrm{\Theta }(N)$ 이 된다. $i$ 번째 삽입 비용이 $\mathrm{\Theta }(i)$ 이므로

  $$\sum _{i=1}^N\mathrm{\Theta }(i)=\mathrm{\Theta }(N^2).$$

즉 시간복잡도는 입력 순서에 따라 결정되는 트리의 균형 정도에 좌우된다. 이 최악의 경우를 피하려면 AVL 트리·레드-블랙 트리 같은 균형 이진 탐색 트리를 써서 높이를 항상 $\mathrm{\Theta }(\log N)$ 으로 유지하면 되고, 그러면 전체 구성 비용도 항상 $\mathrm{\Theta }(N\log N)$ 이 된다.