문제 6 · 다익스트라 알고리즘으로 최단 경로 찾기

문제 6 [4점]

7개의 정점vertex $v_1$, $v_2$, ..., $v_7$을 가진 임의의 유향 가중치 그래프directed weighted graph를 그리고(1점), 시작점 $v_3$로부터 다익스트라 알고리즘Dijkstra's algorithm을 적용하여 최소 경로shortest path를 찾는 과정을 보이시오(3점).

풀이 및 해설

예시 그래프(방향 간선, 가중치 ≥ 0)

간선	가중치	간선	가중치
$v_3\to v_2$	2	$v_1\to v_5$	6
$v_3\to v_4$	5	$v_5\to v_6$	2
$v_2\to v_1$	4	$v_4\to v_6$	7
$v_2\to v_4$	1	$v_5\to v_7$	8
$v_4\to v_5$	3	$v_6\to v_7$	4

다익스트라 알고리즘

$v_3$ 의 거리를 0, 나머지를 $\mathrm{\infty }$ 로 두고, 아직 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 것을 골라 확정한 뒤, 그 정점에서 나가는 간선으로 이웃의 거리를 완화(relax)한다.

확정 순서	확정 정점	확정 거리	완화 결과(갱신된 거리)
1	$v_3$	0	$v_2=2$, $v_4=5$
2	$v_2$	2	$v_1=6$, $v_4=3$(5→3)
3	$v_4$	3	$v_5=6$, $v_6=10$
4	$v_5$	6	$v_6=8$(10→8), $v_7=14$
5	$v_1$	6	$v_5$ 완화 시도 $12>6$ → 변화 없음
6	$v_6$	8	$v_7=12$(14→12)
7	$v_7$	12	—

최단 거리와 경로($v_3$ 기준)

$$\boxed{{\displaystyle d(v_3)=0,d(v_2)=2,d(v_4)=3,d(v_1)=6,d(v_5)=6,d(v_6)=8,d(v_7)=12}}$$

• $v_3\to v_2$ (2)
• $v_3\to v_2\to v_4$ (3)
• $v_3\to v_2\to v_1$ (6)
• $v_3\to v_2\to v_4\to v_5$ (6)
• $v_3\to v_2\to v_4\to v_5\to v_6$ (8)
• $v_3\to v_2\to v_4\to v_5\to v_6\to v_7$ (12)

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