문제 6 · 프림 알고리즘으로 최소 신장 트리 찾기

문제 6 [4점]

7개의 정점vertex을 가진 임의의 무향 가중치 그래프undirected weighted graph를 그리고(2점), 프림 알고리즘Prim's algorithm을 적용하여 최소 신장 트리minimum spanning tree를 찾는 과정을 보이시오(2점).

풀이 및 해설

예시 그래프

정점 $\{A,B,C,D,E,F,G\}$ 와 간선(가중치)을 다음과 같이 잡는다.

간선	가중치	간선	가중치
A–B	7	D–E	15
A–D	5	D–F	6
B–C	8	E–F	8
B–D	9	E–G	9
B–E	7	F–G	11
C–E	5

프림 알고리즘

한 정점에서 시작해, 트리에 속한 정점과 속하지 않은 정점을 잇는 간선 중 가장 가벼운 것을 매번 골라 트리를 키운다. $A$ 에서 시작하자.

단계	추가되는 간선	가중치	트리 정점 집합
1	A–D	5
2	D–F	6
3	A–B	7
4	B–E	7
5	E–C	5
6	E–G	9

각 단계에서 "경계를 넘는 가장 싼 간선"을 고른다. 예컨대 단계 2에서 경계 간선은 A–B(7), B–D(9), D–E(15), D–F(6)이고 그중 최소는 D–F(6) 이다.

최소 신장 트리(MST)

$$\boxed{{\displaystyle \text{MST 간선}=\{A-D,D-F,A-B,B-E,C-E,E-G\}}}$$$$\boxed{{\displaystyle \text{총 가중치}=5+6+7+7+5+9=39}}$$

모든 간선 가중치가 서로 다르므로 이 그래프의 MST는 유일하다.

👉 실습(C++)에서 확인하기