문제 3 · $d$-힙의 부모·자식 인덱스

문제 3 [2점]

$d$-힙d-heap에서, 루트root, 리프leaf 노드가 아닌 $i$번째 노드의 부모parent 인덱스와 자식child 인덱스는 어떻게 정의되는지 서술(각 1점)하시오.

풀이 및 해설

$d$-힙은 각 노드가 최대 $d$개의 자식을 갖는 완전 $d$-진 트리를 배열에 저장한 것이다. 인덱스를 1부터 시작한다고 하면(루트가 1번), $i$번 노드에 대해 다음이 성립한다.

부모 인덱스

$$\boxed{{\displaystyle \text{parent}(i)=\lceil {\displaystyle \frac{i-1}{d}}\rceil =\lfloor {\displaystyle \frac{i-2}{d}}\rfloor +1}}$$

자식 인덱스

$i$번 노드의 $d$개 자식은 연속한 칸을 차지한다.

$$\boxed{{\displaystyle \text{children}(i)=d(i-1)+2,d(i-1)+3,\dots ,d(i-1)+d+1=di+1}}$$

즉 첫째 자식은 $d(i-1)+2$, 마지막 자식은 $di+1$ 이다.

검산($d=2$, 즉 이진 힙)

• 자식: $2(i-1)+2=2i$ 와 $2i+1$ → 익숙한 좌·우 자식 공식과 일치.
• 부모: $\lfloor (i-2)/2\rfloor +1$. 예를 들어 $i=5$ 이면 $\lfloor 3/2\rfloor +1=2$, $i=4$ 이면 $\lfloor 2/2\rfloor +1=2$ → 4·5번의 부모가 2번으로 맞다.

(만약 0-기반 인덱스를 쓴다면 $\text{parent}(i)=\lfloor (i-1)/d\rfloor$, $\text{children}(i)=di+1,\dots ,di+d$ 가 된다.)