기초 · 재귀 · C++ · 복잡도

중간고사 범위의 출발점입니다. 재귀 프로그래밍의 규칙, 자료구조를 C++로 구현하기 위한 클래스·포인터 문법, 알고리즘의 성능을 따지는 복잡도 분석, 그리고 이 모든 것을 감싸는 추상 데이터 타입(ADT)과 표준 템플릿 라이브러리(STL)를 차례로 정리합니다.

재귀 프로그래밍의 규칙

재귀 프로그래밍recursive programming은 함수가 자기 자신을 다시 호출하여 문제를 푸는 방식입니다. 올바르게 동작하는 재귀는 다음 4가지 규칙을 지켜야 합니다.

1. 기본 상태base cases. 재귀 호출 없이 곧바로 풀 수 있는 기본 상태를 반드시 정의해야 한다.
2. 진행making progress. 재귀 호출이 진행됨에 따라, 반드시 기본 상태를 향해 계속 나아가야 한다.
3. 설계 규칙design rule. 모든 재귀 호출은 (일단) 올바르게 작동한다고 가정하고 설계한다.
4. 복리 규칙compound interest rule. 불필요하게 재귀 프로그래밍을 사용해서는 안 된다(같은 계산을 중복해서 되풀이하지 말 것).

C++ 클래스 및 포인터 문법

자료구조를 직접 구현하려면 C++의 클래스와 포인터 문법이 바탕이 됩니다. 아래 예시에서 클래스class 이름은 IntCell이며, 하나의 정수를 저장하는 메모리 셀을 흉내 냅니다.

• public 아래의 멤버member들은 클래스 바깥에서 접근할 수 있는 반면, private 멤버들은 클래스 내부에서만 접근할 수 있다.
• public 멤버 중 클래스와 이름이 똑같은 함수 2개는 각각 인수 없는 생성자constructor와 인수 있는 생성자이며, 틸드tilde(~) 뒤에 이름이 같은 함수는 소멸자이다.
• 생성자는 클래스를 실체화instantiation할 때 실행되고, 소멸자는 프로그램이 종료되거나 실체화된 객체object를 명시적으로 제거할 때 실행된다.

#include <iostream>
using namespace std;

class IntCell { // simulating an integer memory cell
public:
    IntCell() { // constructor
        storedValue = 0;
    }
    IntCell(int initialValue) { // constructor with parameter
        storedValue = initialValue;
    }
    ~IntCell() {} // destructor
    int read() { // return the stored value
        return storedValue;
    }
    void write(int x) { // change the stored value to x
        storedValue = x;
    }
private:
    int storedValue;
};

int main() {
    IntCell* m;          // * indicates that m is a pointer
    m = new IntCell{0};  // dynamic allocation
    m->write(5);
    cout << "Cell contents: " << m->read() << endl;
    delete m;            // garbage collection
    return 0;
}

위의 두 생성자는 초기화 리스트initialization list를 사용하여 다음과 같이 하나로 줄여서 표현할 수도 있습니다. 이때 생성자는 initialValue라는 값을 입력으로 받으며, 입력이 따로 지정되지 않으면 0이 부여되고, storedValue에 initialValue가 할당됩니다.

IntCell(int initialValue = 0): storedValue{initialValue} {}

포인터와 동적 메모리 할당

C++에서 포인터pointer는 다른 객체가 메모리 상에 존재하는 주소address를 저장하는 변수입니다. 위 예시의 IntCell* m;은 IntCell 객체의 주소를 담는 포인터 변수를 선언한 것입니다. 포인터가 왜 필요한지는 메모리 관리와 맞닿아 있습니다.

• 배열 등 임의의 변수를 선언할 때 고정된 크기로 선언하면, 변수가 실제로 다 쓰이지 않을 경우 낭비되는 공간이 생긴다.
• 고정 배열을 포함한 대부분의 일반 변수는 스택stack에 저장되는데, 이 크기를 초과하면 스택 오버플로우stack overflow가 발생하여 운영체제가 프로그램을 강제로 종료한다.
• 동적 메모리 할당dynamic memory allocation은 프로그램 실행 중에 필요한 메모리를 운영체제에 요청하는 방식으로, 스택이 아니라 힙heap처럼 운영체제가 관리하는 훨씬 더 큰 공간에서 할당된다.
• new를 사용하여 변수를 동적 할당하고, delete를 사용하여 할당된 메모리를 다시 운영체제에 반환한다.

알고리즘 분석

알고리즘의 실행 시간 $T(N)$을 다른 함수 $f(N)$과 견주어 그 성장률growth rate을 표현하는 방법에는 다음 4가지가 있습니다.

• $T(N)=\mathcal{O}(f(N))$ — 양의 상수constants $c,n_0$가 존재하여 $N\ge n_0$일 때 $T(N)\le cf(N)$이면 성립. 즉 $T(N)$의 성장률이 $f(N)$의 성장률보다 작거나 같음을 의미한다. 이때 $f(N)$은 $T(N)$의 상계upper bound이고, 반대로 $f(N)=\mathrm{\Omega }(T(N))$이므로 $T(N)$은 $f(N)$의 하계lower bound이다.
• $T(N)=\mathrm{\Omega }(g(N))$ — 양의 상수 $c,n_0$가 존재하여 $N\ge n_0$일 때 $T(N)\ge cg(N)$이면 성립(하계).
• $T(N)=\mathrm{\Theta }(h(N))$ — $T(N)=\mathcal{O}(h(N))$이면서 동시에 $T(N)=\mathrm{\Omega }(h(N))$일 때, 그리고 그때에만 성립(상·하계가 같음).
• $T(N)=o(p(N))$ — 임의의 양의 상수 $c$에 대해 어떤 $n_0$가 존재하여 $N>n_0$일 때 $T(N)<cp(N)$이면 성립(엄격히 더 느린 성장).

빅-오 표기법

실제 알고리즘 분석에서는 상계를 나타내는 빅-오 표기법big-Oh notation; $\mathcal{O}(\cdot )$을 주로 사용합니다.

• 예를 들어 $g(N)=2N^2$이라면 $g(N)=\mathcal{O}(N^4)$, $g(N)=\mathcal{O}(N^3)$, $g(N)=\mathcal{O}(N^2)$이 모두 기술적으로는 올바르지만, 가장 촘촘한 마지막 옵션 $\mathcal{O}(N^2)$이 가장 좋은 답이다.
• 일반적으로 알고리즘 분석은 따로 언급되지 않는 한 최악의 경우에 대해 수행한다.

엄밀한 수학적 정의를 매번 그대로 적용하기보다는, 알려진 몇 가지 결과를 토대로 빠르게 분석할 수 있습니다.

• 단일 for문은 $\mathcal{O}(N)$이며, 중첩 for문nested for loop은 $\mathcal{O}(N^2)$, $\mathcal{O}(N^3)$처럼 점점 늘어난다. 반면 나란히 있는 연속 for문consecutive for loop은 복잡도complexity가 변하지 않는다(더 큰 쪽이 지배).
• 조건문은 분기에 따라 결과가 달라질 수 있으며, 재귀 프로그램도 경우의 수를 따져 보아야 한다.

아래 실습은 중첩 for문의 안쪽 연산 횟수가 입력 크기 $N$에 대해 $N^2$으로 늘어나는 것을 직접 세어 보여 줍니다. $N$을 2배로 키우면 연산 횟수가 4배가 되는 것을 확인해 보세요.

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int sizes[] = {1, 2, 4, 8};
    for (int N : sizes) {
        long count = 0;
        for (int i = 0; i < N; i++)      // O(N)
            for (int j = 0; j < N; j++)  // O(N) -> 합쳐서 O(N^2)
                count++;
        cout << "N=" << N << " -> inner ops = " << count << endl;
    }
    return 0;
}

추상 데이터 타입과 표준 템플릿 라이브러리

• 추상 데이터 타입abstract data type; ADT은 연산operation들과 함께 있는 객체object들의 집합이다.
• ADT는 수학적 추상화이며, 그 정의에는 연산의 집합이 실제로 어떻게 구현되는지에 대한 언급이 없다. 즉 "무엇을 하는가"만 규정하고 "어떻게 하는가"는 감춘다.
• C++ 언어는 자주 쓰이는 자료구조 ADT의 구현을 표준으로 포함하며, 이를 표준 템플릿 라이브러리standard template library; STL라고 한다.
• 보통 STL에 내장되어 있는 자료구조를 컬렉션collection 또는 컨테이너container라고 부른다.

가장 기본적인 컨테이너인 vector(가변 크기 배열)를 예로 들어, ADT가 제공하는 연산만으로 자료를 다루는 모습을 실습으로 확인해 봅니다.

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    vector<int> v;               // 크기가 자동으로 늘어나는 배열 컨테이너
    v.push_back(10);
    v.push_back(20);
    v.push_back(30);
    cout << "size: " << v.size() << endl;
    cout << "v[1]: " << v[1] << endl;
    v.pop_back();                // 마지막 원소 제거
    cout << "after pop_back, size: " << v.size() << endl;
    return 0;
}